P-адическое число
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
- Правильный заголовок этой статьи — p-адическое число. Он показан некорректно из-за технических ограничений.
p-ади́ческое число — элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р. Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно p-адической нормы.
p-адические числа были введены Куртом Гензелем (Kurt Hensel), первая публикация относится к 1897 году.
Поле p-адических чисел обычно обозначается .
Содержание |
[править] Метрическое построение
[править] p-адическая норма
Любое рациональное число r можно представить как где a и b целые чила не делящиеся на p, а n — целoe. Тогда | r | p — p-адическая норма r — определяется как p − n. Если r = 0, то | r | p = 0.
[править] Построение
Поле p-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой dp определённой p-адической нормой: dp(x,y) = | x − y | p. Это построение аналогично построению вещественных чисел как пополнение рациональных.
Норма | r | p продолжается по непрерывности до нормы на .
[править] Алгебраическое построение
[править] Целые p-адические числа
Целым p-адическим числом для произвольного простого p называется бесконечная последовательность x = {x1,x2,...} вычетов xn по модулю pn, удовлетворяющих условию Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей.
Относительно сложения и умножения целые p-адические числа образуют кольцо, которое содержит кольцо целых чисел, каждое целое число a отождествляется с p-адическим числом x = {a,a,...}.
Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается .
Другими словами, кольцо целых p-адических чисел определяется как проективный предел
колец вычетов по модулю pn относительно естественных проекций .
[править] p-адические числа
p-адическим числом называется элемент поля частных кольца целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел и содержит в себе поле рациональных чисел.
[править] Свойства
- Каждый элемент поля p-адических чисел может быть представлен в виде
-
- где n0 — некоторое целое число и ai целые неотрицательные числа не превосходящие p − 1. Такая сумма всегда сходится в метрике dp.
- p-адическая норма | x | p удовлетворяет сильному неравенству треугольника
-
- Числа с условием образуют кольцо целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел в норме | x | p.
- Числа с условием | x | p = 1 образуют мультипликативную группу и называемую p-адическими единицами.
- Совокупность чисел с условием | x | p < 1 является главным идеалом в с образующим элементом p.
- метрическое пространство гомеоморфно Канторову множеству, а пространство гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.
- Для различных p нормы | x | p независимы, а поля неизоморфны.
- Для любых элементов r∞, r2, r3, r5, r7, …, таких что и , можно найти последовательность рациональных чисел xn таких что для любого p, и .
[править] Применения
- Если F(x1,x2,...,xn) — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения
-
- эквивалентна разрешимости уравнения
- в целых p-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p.
[править] Литература
- Hensel, K., Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen, Jahresber. Deutsch. Math. Verein 6, 83-88, 1897. (Первая публикация о p-адических числах)
- Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю., 2-адические числа. Квант, № 2, 1979.
натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли
иррациональные | трансцендентные p-адические |