Talteori

Wikipedia

Traditionellt är talteorien den gren inom matematiken som rör heltalens egenskaper. Mer allmänt har talteorin kommit att omfatta en vidare typ av problem, som "lätt förstås av icke-matematiker" och därför blivit en vedertagen teknik för att angripa olika sorters problem. Talteori kan uppdelas i flera områden beroende på metoderna som används och spörsmålen som undersöks.

[redigera] Typer av talteori

[redigera] Elementär talteori

I elementär talteori studeras heltalen utan användning av någon av teknikerna från de andra matematikområdena. Frågor om delbarhet, Euklides algoritm för att beräkna största gemensamma delaren, faktorisering av heltalen i primtal , undersökning av perfekta tal och kongruenser hör hemma här. Typiska teorem är Fermats lilla sats, Eulers sats, den kinesiska restsatsen och kvadratiska reciprocitetssatsen.

Undersökning av egenskaperna hos aritmetiska funktioner såsom Möbius funktion och Eulers φ-funktion samt heltalsföljder såsom fakulteter och Fibonaccital ingår också.

Många frågor inom den elementära talteorin är exceptionellt djupa och kräver helt nya angreppssätt. Några exempel är

Goldbachs förmodan som rör jämna heltal som är summan av två primtal
Catalans förmodan rörande heltalsdigniteter i följd
Primtalstvillingsförmodan om antalet primtalstvillingar
Collatz förmodan om enkel iteration
diofantiska ekvationer som till och med har visat sig "olösbara". Se även Hilberts tionde problem.

[redigera] Analytisk talteori

Analytisk talteori använder mekanismer som analys och komplex analys för att tackla frågor rörande heltal. Exempel är Primtalssatsen och den relaterade Riemannhypotesen. Warings problem, att ett givet heltal representerar en summa av kvadrater, kuber etc., primtalstvillingsantagandet, för att hitta oändligt många primtalspar med skillnaden 2, och Goldbachs antagande, som antyder att jämna heltal är summan av två primtal, angrips också med analytiska metoder.

Bevis för att vissa matematiska konstanter såsom π och e är transcendenta, tillhör också analytisk talteori. Utsagor om transcendenta tal tycks ha flyttat från studiet av heltal. Å andra sidan studerar man möjliga värden från polynom med heltalskoefficienter för till exempel e, vilket är tätt kopplat till området Diofantisk approximation.

[redigera] Algebraisk talteori

I algebraisk talteori utökas begreppet tal att också omfatta algebraiska tal, vilka är rötter till polynom med koefficienter som är rationella tal. Denna domän innehåller element som är analoga med heltal, s.k. algebraiska heltal. I denna tappning behöver inte familjära egenskaper, som till exempel unik faktorisering, fortfarande gälla. Fördelen med de mekanismer som används, Galoisteori, representationsteori, gruppkohomologi, klasskroppsteori och L-funktioner, är att de tillåter att återfå ordningen delvis för denna nya typ av tal.

Ett stort antal teoretiska frågeställningar attackeras bäst genom att studera "modulo p" för alla primtal "p". Se ändliga kroppar. Detta kallas localization och leder fram till konstruktionen av p-adiska tal. Denna typ av studier, som uppstått ur algebraisk talteori, kallas local analysis.

[redigera] Geometrisk talteori

Geometrisk talteori omfattar alla former av geometri. Den inleds med Minkowskis sats som avhandlar gitterpunkter i konvexa uppsättningar och undersökningar av sfärpackningar. Man kan här även tillämpa algebraisk geometri, speciellt teorin bakom elliptiska kurvor. Fermats stora sats har bevisats med hjälp av dessa tekniker.

[redigera] Probabilistisk talteori

Detta avsnitt är bara påbörjat. Du kan hjälpa till genom att fylla i mer.

[redigera] Algoritmisk talteori

Inom detta område studeras relevanta algoritmer inom talteori. Snabba algoritmer för primtalstest och heltalsfaktorisering har utbredd tillämpning inom kryptografi.