Teória čísel
Z Wikipédie
Teória čísel je jednou z disciplín diskrétnej matematiky zaoberajúca sa vlastnosťami čísel vo všeobecnosti a zvlášť celými číslami, ako aj širším rozsahom problémov súvisiacich so štúdiom čísel. Je možné ju ďalej rozdeliť do poddisciplín vzhľadom na používané metódy a typy riešených úloh.
Obsah |
[úprava] Poddisciplíny
[úprava] Elementárna teória čísel
Od antiky do 17. storočia sa teória čísel zaobišla bez iných matematických disciplín. Jej jediné pomôcky boli vlastnosti celých čísel, obzvlášt rozdelenie čísel na prvočísla, deliteľnosť a počítanie s kongruenciami. Dôležité výsledky, ktoré sa dajú dosiahnuť s pomocou elementárnych metód, sú malá Fermatova veta a jeho zovšeobecnenie Eulerová veta, Čínska zvyšková veta, Wilsonova veta a Euklidov algoritmus.
[úprava] Analytická teória čisel
Euler si ako prvý všimol, že sa dajú metódy analýzy a teórie funkcíi použiť na riešenie úloh teórie čísel. Dôležité problémy, ktoré boli vyriešené analytickými metódami, sú napríklad Gaußova prvočíslová veta a Dirichletova veta o prvočíslach v aritmetických progresiach. Okrem toho slúžili analytické metódy dôkazu o transcendentosti čísel pi a e.
[úprava] Algebraická teória čísel a aritmetická geometria
[úprava] Algoritmická teória čísel
Algoritmická teória čísel sa zaoberá s tým, ako sa dajú problémy z teórie čísel riešiť algoritmicky. Dôležité otázky sú, či je veľké číslo prvočíslo, zfaktorizovanie veľkých čísel a spočítanie diskrétneho logaritmu.
[úprava] Použitie teórie čísel
Téoria čísel sa používa v kryptografii. Používajú sa tu elementárne metódy (rozklad na prvočinitele, napríklad pri RSA alebo ElGamal), ale aj pokročílé metódy algebraickej teórie čísel (ECC).
Taktiež sa teória čísel najde v teórii kódovania.
[úprava] Historický vývoj
[úprava] Teória čísel v antike a stredoveku
Prvé písomné dôkazy z teórie čísel sú zhruba z roku 2000 pred naším letopočtom. Egypťania a Babylóni už poznali čísla menšie než milión, štvorce a zopár pytagorských trojíc. Systematický vývoj začal však až v prvom tisícročí pred náším letopočtom v antickom Grécku. Vynikajúci predstaviteľ je Euklid (zhruba 300 pred n.l.), ktorý preniesol Pytagorovú metódu matematíckého dôkazu do teórie čísel. Jeho najslávnejšie dielo, Euklidove elementy, sa do 18. storočia používalo ako štandardná učebnica pre geometriu a teóriu čísel. Zväzky 7, 8 a 9 sa zaoberajú otázkami teórie čísel, ako napríklad definíciou prvočísla, Euklidovho algoritmom (na výpočet najväčšieho spoločného deliteľa) a dôkazom, že existuje nekonečne veľa prvočísel (Euklidova veta). V roku 250 pred n.l. sa zaoberal matematik Diofantos nejskôr s rovnakomennými rovnicami. Jeho hlavné dielo je Arithmetica. Gréci kládli zaujímavé otázky, z ktorých niektoré nie sú vyriešené dodnes (napr. problém prvočíselných dvojíc, dokonalých čísel alebo trojuholníkových čísel) alebo ktorých riešenie trvalo tisíce rokov. So zánikom gréckych štátov skončila aj doba, v ktorej teória čísel v Európe kvitla. Z tohto času je menovateľný iba Leonardo di Pisa (Fibonacci, zhruba 1200 n.l.), ktorý sa zaoberal okrem číselnými radami aj riešením rovníc. Na konci stredoveku objavil Marin Mersenne tzv. Mersennove prvočísla.
[úprava] Príklady číselných množín
- Prirodzené čísla – 1, 2, 3, ... (najstaršie čísla, využívali sa na počítanie množstva), označenie N (V niektorých definíciách je aj nula prirodzené číslo)
- Celé čísla – 1, 2, 3, ..., 0, −1, −2, −3, ... (pribudla nula a záporné čísla), označenie Z
- Racionálne čísla – čísla, ktoré sa dajú zapísať formou zlomku (napr. 0,5 = 1/2, ale aj 1 = 1/1), označenie Q
- Iracionálne čísla - čísla, ktoré sa nedajú napísať formou zlomku, označenie I delia sa na:
- Algebraické čísla napr. odmocnina z dvoch
- Transcendentálne čísla napr. Ludolfovo číslo, Eulerovo číslo
- Reálne čísla – všetky racionálne a iracionálne čísla, označenie R
- Komplexné čísla – skladajú sa z 2 častí – reálnej a imaginárnej, takéto číslo je napríklad 0 + i (toto komplexné číslo je riešením rovnice x2 = − 1), označenie C
Hoci sú všetky horeuvedené číselné množiny nekonečné, nie sú rovnako mohutné. Mohutnosť N, Z, Q a alegebraických čísel je rovnaká ostatné tri sú mohutnejšie a zase rovnako mohutné.
[úprava] Významný matematici zaoberajúci sa teóriou čísel
- Euklid
- Diofantos z Alexandrie
- Marin Mersenne
- Pierre de Fermat
- Leonhard Euler
- Carl Friedrich Gauß
- Joseph-Louis Lagrange
- Adrien-Marie Legendre
- Carl Gustav Jacob Jacobi
- Peter Gustav Lejeune Dirichlet
- Bernhard Riemann
- Emil Artin
- Goro Shimura
- Yutaka Taniyama
- Andrew Wiles
- Helmut Hasse
- Paul Erdös
- Sophie Germain
- Srinivasa Aiyangar Ramanujan
- André Weil
