Funkcja kwadratowa
Z Wikipedii
Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) – funkcja postaci f(x) = ax2 + bx + c.
Spis treści |
[edytuj] Definicja formalna
Funkcję 
, gdzie K jest dowolnym ciałem (zwykle R liczb rzeczywistych lub 
liczb zespolonych) nazywamy funkcją kwadratową, jeśli da się ją przedstawić za pomocą wzoru
- f(x) = ax2 + bx + c, gdzie
.
[edytuj] Wyróżnik
Wyróżnikiem funkcji kwadratowej nazywamy wielkość daną wzorem Δ = b2 − 4ac, jest ona pomocna w przy wyznaczaniu liczby jak i samych rzeczywistych miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego ax2 + bx + c = 0.
[edytuj] Miejsca zerowe
Funkcja kwadratowa posiada maksymalnie dwa miejsca zerowe, ponieważ ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte, to funkcja kwadratowa posiada zawsze dwa pierwiastki zespolone (albo jeden podwójny).
W zależności od wyróżnika rzeczywistej funkcji kwadratowej posiada ona:
- zero rzeczywistych miejsc zerowych dla Δ < 0 (dwa różne sprzężone pierwiastki zespolone),
- jedno podwójne miejsce zerowe rzeczywiste dla Δ = 0,
- dwa różne rzeczywiste miejsca zerowe dla Δ > 0.
Wyrażają się one wzorami 
. W przypadku, gdy Δ = 0 jasnym jest, że jedyne miejsce zerowe dane jest równianiem 
.
[edytuj] Równanie niezupełne
Gdy równanie kwadratowe jest niezupełne, miejsca zerowe wyrażają się wzorami:
- dla b = 0:
- równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych dla ac > 0,
- x0 = 0 (pierwiastek dwukrotny) dla c = 0,
dla ac < 0;
- dla c = 0:
.
[edytuj] Postaci
- postać wielomianowa: f(x) = ax2 + bx + c.
- postać kanoniczna: f(x) = a(x − p)2 + q, gdzie
, - postać iloczynowa:
- f(x) = a(x − x1)(x − x2), gdzie
są miejscami zerowymi o ile Δ > 0, - f(x) = a(x − x1)2, jeżeli funkcja ma pierwiastek podwójny.
- f(x) = a(x − x1)(x − x2), gdzie
W drugim ze wzorów przy obliczaniu q warto pamiętać, że również f(p) = q.
[edytuj] Wykres
W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa wyznacza parabolę. Z postaci kanonicznej łatwo odczytać wierzchołek paraboli (p,q) będący zarazem ekstremum funkcji. Z kolei z postać iloczynowa jest pomocna w znajdowaniu przecięcia wykresu paraboli z osią OX układu.
Gdy a > 0, to ramiona paraboli są skierowane "w górę" i posiada ona minimum globalne, w przeciwnym wypadku są skierowane "w dół" i ma ona maksimum globalne.
