Wielomian

Liczby a_i nazywamy współczynnikami wielomianu, n jego stopniem, a_n najstarszym współczynnikiem (lub współczynnikiem wiodącym), a a₀ wyrazem wolnym.

Miejsca zerowe wielomianów nazywamy pierwiastkami. Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków – wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że każdy wielomian zespolony stopnia n ma dokładnie n pierwiastków zespolonych.

Do obliczania wartości wielomianu dla danej liczby c wygodnie stosować jest schemat Hornera.

[edytuj] Aproksymacja funkcji ciągłych

Ze względu na swą prostotę i "porządne" własności (ciągłość, różniczkowalność) wielomiany odgrywają ważną rolę w analizie matematycznej. Podstawowe twierdzenie Weierstrassa mówi, że każdą funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można z dowolną dokładnością przybliżać wielomianami.

Zagadnienie aproksymacji funkcji wielomianami doprowadziło do konstrukcji wielomianów Czebyszewa i Legendre'a.

[edytuj] Szeregi potęgowe

Próby przybliżania funkcji wielomianami doprowadziły do teorii szeregów potęgowych, które można traktować jako uogólnienie wielomianów. Wiele ważnych funkcji daje się rozwinąć w szereg potęgowy, co ułatwia badanie ich własności. Dla przykładu funkcja x → e^x ma rozwinięcie:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots$

Rozwijanie funkcji w szereg jest szczególnie ważne w przypadku funkcji, które nie są elementarne (zobacz też: funkcje specjalne).

[edytuj] Przestrzeń liniowa

W terminach algebry liniowej każdy wielomian jest kombinacją liniową prostych funkcji potęgowych postaci x → x^k, gdzie k = 0, 1, 2... Zbiór wielomianów jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich funkcji określonych na R lub C. Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa mówi, że przestrzeń wielomianów jest zbiorem gęstym w przestrzeni Banacha C([a, b]) z normą supremum.

[edytuj] Wielomian w algebrze

Wielomian jednej zmiennej x to wyrażenie algebraiczne postaci:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ ,

gdzie x to symbol zmiennej, zaś a_k to współczynniki należące do pewnego pierścienia, na przykład liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę a_n nazywamy najstarszym współczynnikiem wielomianu, zaś a₀ wyrazem wolnym.

Przykłady wielomianów jednej zmiennej:

2x (wielomian stopnia pierwszego)
3x³-2x²+x-1 (wielomian stopnia trzeciego)
x⁵+x³-2x+11 (wielomian stopnia piątego)
-9 (wielomian stopnia zero)
0. (wielomian zerowy)

W tym sensie wielomiany to po prostu napisy, na których możemy wykonywać działania zgodnie z poznanymi w szkole regułami. Ostatni z podanych wielomianów to wielomian zerowy — odgrywa on rolę analogiczną do roli liczby 0 w zbiorze liczb całkowitych.

W przypadku pierścieni nieskończonych bez dzielników zera, na których zwykle operujemy, rozróżnienie między funkcją a wyrażeniem algebraicznym nie jest konieczne.

Ale na przykład wielomiany x² i x generują identyczne funkcje w pierścieniu Z modulo 2: 1²=1, 0²=0, nie chcemy ich jednak traktować jako tego samego obiektu.

Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach z danego pierścienia tworzy znowu pierścień, zwany pierścieniem wielomianów danego pierścienia.

[edytuj] Rozkład wielomianu

Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki których iloczyn jest równy temu wielomianowi a każdy czynnik jest maks. 2. stopnia tj. w formie $A x 2 + B x + C$ .

Rozkład można przeprowadzić na kilka sposobów:

Przez wzory skróconego mnożenia
Przez zastosowanie twierdzenia Bézouta
Wykorzystujac schemat Hornera
Korzystając ze wzorów Kroneckera i wzoru Hermite'a (dla dowolnych wielomianów), wzory te uogólnił Klein.