Relacja (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Relacją n-członową (n-argumentową) nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego $n$ zbiorów. Zbiory te nie muszą być identyczne. Intuicyjnie, relacja oznacza związek pomiędzy elementami zbiorów. Jeżeli relację oznaczymy przez $\varrho$ , to:

$\varrho \subset X_{1}\times X_{2}\times ...\times X_{n}$

Szczególnym przypadkiem są relacje zawarte w $n$ -tej potędze kartezjańskiej jednego zbioru $X$ :

$\varrho \subset X \times X \times ...\times X = X^n$

Jeśli oznaczmy przez $R e l n (X)$ zbiór wszystkich relacji n-członowych w zbiorze $X$ , to moc tego zbioru można obliczyć następująco:

$|Rel_{n}(X)| = 2^{|X|^{n}}$

Interesującym pod względem formalnym jest przypadek relacji zeroargumentowych, które zawarte są w zbiorze:

$X^{0} = \{ \varnothing \}$

Istnieją tylko dwie takie relacje, to jest $\varnothing$ i $\{\varnothing\}$ . Są one użyteczne w rozważaniach teoretycznych, ale trudno je zrozumieć intuicyjnie.

W praktyce częściej spotykane są relacje jednoargumentowe, czyli podzbiory zbioru $X$ , jednak najbardziej popularne są relacje dwuczłonowe (binarne), nazywane po prostu relacjami. Są to zbiory par uporządkowanych postaci $(x, y)$ . Jeżeli $(x, y) \in \varrho$ , wówczas piszemy $x \varrho y$ ( $x$ jest w relacji $\varrho$ z $y$ ).

Typowymi przykładami relacji binarnych są: relacja pusta równa zbiorowi pustemu, relacja pełna, równa $X \times X$ oraz przekątna, czyli zbiór par $\{(x, y) \in X \times X: x = y \}$ .

Zbiór wszystkich tych elementów $X$ , które występują jako poprzedniki w parach należących do pewnej relacji (tzn. występują na pierwszych miejscach w parach) nazywamy dziedziną , a zbiór następników (elementów na drugim miejscu) - obrazem tej relacji.

[edytuj] Przykłady relacji

W matematyce:

Relacje jednoargumentowe w zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb R$ to na przykład: zbiór liczb wymiernych $\mathbb Q$ , zbiór liczb parzystych, przedział $(0,1)$ .
Rozważając relacje dwuargumentowe w zbiorze liczb rzeczywistych zauważmy, że ich interpretacją są figury płaskie. W tym przypadku relację pełną przedstawia cała płaszczyzna, przekątną natomiast – prosta $y = x$ .
Relacją binarną w zbiorze liczb naturalnych $\mathbb N$ jest np. relacja podzielności, tj. zbiór wszystkich par $(x, y)$ liczb naturalnych takich, że $y = k x$ dla pewnej liczby naturalnej $k$ . Para $(x, y)$ jest elementem tej relacji tylko wtedy, gdy liczba $x$ dzieli liczbę $y$ . Zatem: $(2,4)$ jest elementem tej relacji, a $(2,5)$ – nie.
Najbardziej typowe relacje binarne w zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb R$ to: relacja równości $=$ i relacja mniejsze-równe $\le$ . Pierwsza z nich jest równoważnością, zaś druga – porządkiem liniowym.

Językiem relacji można opisywać wiele zjawisk życia codziennego. Na przykład:

W danej społeczności wprowadźmy zależność $Z$ między jej członkami tak:

(x, y)

są w relacji

Z

wtedy i tylko wtedy, gdy

x

y

posiadają samochód tej samej marki.

Relacja $Z$ jest oczywiście zwrotna $x Z x$ : osoba $x$ ma samochód tej samej marki, co osoba $x$ ) oraz symetryczna $x Z y \implies y Z x$ : jeśli $x$ ma samochód tej samej marki co $y$ , to $y$ ma samochód tej samej marki co $x$ ).

Relacja ta pozwala wyróżnić w społeczności grupy osób (podzbiory) – posiadaczy Roverów, Fiatów, Syren, itp. Podzbiory te nie muszą być rozłączne: ta sama osoba może posiadać kilka samochodów różnych marek i wówczas należy do kilku odpowiednich grup (zbiorów). Pozostaje ona wówczas w relacji $Z$ z osobami, które mogą nie być ze sobą w relacji $Z$ , a więc relacja nie jest przechodnia).

Jeśliby jednak żaden członek społeczności nie posiadał samochodów różnych marek, to relacja $Z$ byłaby przechodnia i wobec tego byłaby relacją równoważności. Wówczas relacja ta dzieliłaby społeczność na rozłączne zbiory posiadaczy samochodów poszczególnych marek, czyli tzw. klasy abstrakcji.

Nawiązując do powyższego przykładu można zastanowić się nad następującą relacją: osoba $x$ jest w relacji $M$ , jeśli posiada Mercedesa. Taka relacja będzie obejmowała tylko i wyłącznie posiadaczy Mercedesów i będzie relacją jednoargumentową.

W iloczynie kartezjańskim $X \times Y \times S$ , gdzie $X$ oznacza zbiór wszystkich kobiet mieszkających w Polsce, $Y$ zbiór mężczyzn, zaś $S$ wszystkie marki samochodów, można wprowadzić również relację trójargumentową T w następujący sposób:

$(x, y, s) \in T$ wtedy i tylko wtedy, gdy

x

jest żoną

y

i małżeństwo to posiada Fiata.

Wtedy żaden samotny mężczyzna nie ma szans "dostać się" do relacji $T$ , dopóki nie znajdzie drugiej połówki, natomiast małżeństwo – dopóki nie wejdzie w posiadanie Fiata.