Driedeurenprobleem
Het driedeurenprobleem is een probleem uit de kansrekening en speltheorie dat gebaseerd is op een oud probleem genaamd "De drie gevangenen", en bekendheid kreeg in een vorm gebruikt in de Amerikaanse spelshow Let's Make a Deal en in de Nederlandse televisiequiz: de 123-show met presentator Willem Ruis. In Engelse literatuur wordt het probleem meestal met Monty Hall problem aangeduid, naar de presentator van de Amerikaanse show.
Men zou het probleem als een paradox kunnen zien. Er is geen logische tegenstrijdigheid, maar wel een voor velen tegenintuïtief resultaat.
In de quiz wordt de winnaar geconfronteerd met drie dichte deuren. Achter een van de deuren staat een auto (of ander waardevol voorwerp), achter de andere twee een geit (of ander voorwerp van 'lage' waarde). De winnaar mag een deur aanwijzen, en krijgt als prijs datgene wat zich achter die deur bevindt. Als de deelnemer een deur heeft aangewezen (maar nog niet opent), opent de presentator een van de andere twee deuren, waarachter een geit blijkt te staan. De presentator stelt de deelnemer dan voor de keus om te wisselen van dichte deur, dus niet de aangewezen, maar de andere gesloten deur te kiezen. Wat moet de deelnemer doen? Kan hij beter wisselen van deur, of maakt het niets uit? Is de kans op het winnen van de auto groter als de deelnemer van deur wisselt? Het antwoord is ja. Die kans wordt door wisselen van deur vergroot van 1/3 naar 2/3.
[bewerk] Uitleg
Velen vinden dit antwoord op het eerste gezicht tegenintuïtief. Daarom een korte uitleg.
Er zijn drie mogelijkheden:
- Achter de aangewezen deur staat geit 1. De presentator kiest de andere geit. Wisselen levert de auto op.
- Achter de aangewezen deur staat geit 2. De presentator kiest de andere geit. Wisselen levert de auto op.
- Achter de aangewezen deur staat de auto. De presentator kiest een van de twee geiten. Wisselen levert een geit op.
Deze drie mogelijkheden zijn even waarschijnlijk, waarbij we moeten opmerken dat de presentator in de eerste twee gevallen natuurlijk alleen de deur open doet waar een geit achter staat en in het derde geval geheel willekeurig een van de beide deuren met geit kiest.
De (voorwaardelijke) kans in de aangegeven situatie om de auto te winnen door van deur te wisselen is dus 2/3.
[bewerk] Opmerking
Een vaak gehoorde verkeerde redenering, die wel getalsmatig het goede antwoord oplevert, is de volgende. Aanvankelijk was de kans 1/3 om achter de aangewezen deur de auto te vinden. De beide andere deuren hebben samen 2/3 kans op de auto. Door te wisselen verhoog je dus je kans van 1/3 naar 2/3. De fout in de redenering is het verwarren van (aanvankelijke) kansen en voorwaardelijke kansen gegeven de ene getoonde geit. De verwarring wordt hier in de hand gewerkt doordat de voorwaardelijke kans op de auto achter de eerst aangewezen deur (althans bij de juiste strategie van de presentator) ook 1/3 is.
Ter verdere verduidelijking gaan we na wat eigenlijk met kans bedoeld is. Als de kandidaat aanvankelijk een van de drie deuren mag kiezen, bedoelen we met te zeggen dat de kans 1/3 is dat de auto achter de gekozen deur staat het volgende: in de verschillende uitzendingen van de quiz zal een van de drie keer achter deze deur de auto staan. Welke keren dat zijn weten we vooraf niet. In de volgende tabel staan alle mogelijkheden, die zich even vaak zullen voordoen.
deur
A B C
-----------
a g g
g a g
g g a
In een van de drie gevallen staat de auto achter deur A.
Als de kandidaat een deur heeft aangewezen en de presentator opent een deur met een geit, hoe liggen de (voorwaardelijke) kansen dan? Nu betekent dat de (voorwaardelijke) kans 1/3 is dat de auto achter de aangewezen deur staat het volgende: van alle keren dat een kandidaat deze deur heeft aangewezen en de presentator een deur met een geit heeft geopend - en daarbij de juiste strategie hanteert - staat een op de drie keer de auto inderdaad achter deze deur. In de volgende tabel staan alle mogelijkheden, met de kans van optreden. We bevinden ons in een met een * aangeduide situatie: de kandidaat heeft deur A aangewezen en de presentator heeft deur B waar een geit (G) achter staat open gedaan.
deur
A* B C kans
-------------------------------
a G g 1/3 x 1/2 = 1/6 *
a g G 1/3 x 1/2 = 1/6
g a G 1/3 x 1 = 1/3
g G a 1/3 x 1 = 1/3 *
Van de twee gevallen met een * is de (voorwaardelijke) kans dat de auto achter deur C staat twee keer zo groot (1/3) als de kans dat hij achter deur A staat (1/6).
In bovenstaande wordt ervan uitgegaan dat de presentator altijd een alternatieve deur aanbiedt, welke deur de kandidaat ook gekozen heeft. Als de presentator een andere strategie volgt, kan het resultaat heel anders zijn.
Dit is mogelijk de reden dat het probleem zo tegenintuïtief is: in een dergelijke situatie krijgen we de indruk, dat de presentator aan het proberen is, de kandidaat van een correcte keuze af te brengen. Anders gezegd: Hij biedt alleen een alternatieve deur aan, wanneer de kandidaat de deur met de auto gekozen heeft. Als dat zo is, moet de kandidaat natuurlijk nooit wisselen! Men ziet in die situatie dan ook vaak, dat de kandidaat steeds naar de presentator kijkt, in een poging vast te stellen of die hem nu voor de gek houdt of helpt.
Nog een andere mogelijke strategie: Stel dat de presentator op goed geluk een van de andere deuren opent, en dus het risico loopt de auto te laten zien (in dat laatste geval blijft de kandidaat met de geit zitten). "Onze" kandidaat heeft geluk, want de geopende deur toont een geit, de auto is nog in het spel. Nu maakt het niet uit of de kandidaat wisselt of bij z'n eerste keus blijft, de kansen zijn 1/2 om 1/2, wat te zien is aan de volgende tabel. De kandidaat heeft deur A gekozen en de presentator heeft een van de andere deuren geopend, aangegeven door de inhoud met een hoofdletter te schrijven (g=geit, a=auto).
deur
A B C
-----------
a G g *
a g G *
g A g
g a G *
g G a *
g g A
Alle zes mogelijkheden zijn even waarschijnlijk (kans 1/6), en "onze" kandidaat bevindt zich in een van de vier met een sterretje gemerkte situaties. In twee daarvan staat de auto achter deur A en in de andere twee achter de andere niet geopende deur.
