בעיית מונטי הול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

הבעיה של מונטי הול או בעיית "עשינו עסק" היא בעיה פשוטה בתורת ההסתברות שפתרונה אינו אינטואיטיבי, וגם מתמטיקאים מנוסים התקשו לקבל אותו.

תוכן עניינים

1 הבעיה
2 מקורה של הבעיה
3 ניתוח הגרסה הראשונה
4 ניתוח הגרסה השניה
5 ניתוח מתמטי
6 קישורים חיצוניים

[עריכה] הבעיה

לאחר שהשחקן בחר דלת, המנחה פותח אחת משתי הדלתות הנותרות ומאחוריה נמצאת עז

הבעיה קרויה על שם שעשועון טלוויזיה אמריקאי בהנחיית מונטי הול. בסוף התוכנית, מציגים בפנינו שלוש דלתות. מאחורי אחת מהן יש פרס, ומאחורי שתי הדלתות האחרות - עזים. מכיוון שאיננו יודעים איזו דלת מסתירה את הפרס, נאלץ לבחור באקראי. אם נבחר בדלת הנכונה, נזכה בפרס; אחרת, לא נקבל דבר.

וזוהי הבעיה:

לאחר שהצבענו על אחת הדלתות, המנחה, היודע מהי הדלת הנכונה, ניגש לאחת משתי הדלתות האחרות ופותח אותה, כשהוא מגלה מאחוריה עז. כעת אנו צריכים להחליט האם לדבוק בבחירה המקורית שלנו, או לשנות את ההחלטה ולהעדיף במקומה את הדלת האחרונה.

ניתוח פשטני של הסיטואציה מציג בפנינו את הדילמה הבאה: מצד אחד, הסיכוי שבחרנו בדלת הנכונה היה 1/3, וברגע הבחירה ברור לנו שמבין שתי הדלתות האחרות לפחות אחת מסתירה עז. אם כך, המנחה שפתח דלת לא גילה לנו שום דבר שלא ידענו, ולכן הסיכויים שהדלת שבחרנו היא הנכונה צריכים להשאר שליש. מצד שני, כעת ישנן שתי דלתות סגורות, ורק אחת מהן מסתירה את הפרס. לכן (אפילו מנקודת המבט של מי שלא יודע על איזו דלת הצבענו), הסיכויים שהפרס נמצא מאחורי אותה דלת הם 1/2. מצד שלישי, על הדלת שהמנחה לא פתח לא למדנו כלום - כך שהסיכוי שלה להסתיר את הפרס היה ונשאר 1/3, והסיכוי של הדלת שלנו אמור להיות 2/3.

כפי שיוסבר בהמשך, בניסוח הזה באמת אין שום דרך לחשב את הסיכויים הנכונים, ולא פלא שבין אלו שניסו לחשב אותם בכל זאת התגלו אי-הסכמות. נתבונן בניסוח מדוקדק יותר של הבעיה:

לאחר שהצבענו על אחת הדלתות, המנחה, היודע מהי הדלת הנכונה, מחוייב על-פי כללי המשחק לפתוח אחת משתי הדלתות האחרות ולגלות מאחוריה עז. כמקודם, אנחנו צריכים לבחור האם להשאר עם אותה דלת, או להחליף אותה באחרת.

כל ההבדל בין ניסוח זה של הבעיה לבין הניסוח הקודם הוא בכך שקודם סיפרו לנו שהמנחה פתח דלת וגילה מאחוריה עז, ואילו עכשיו אנחנו למדים שהוא לא פעל סתם כך, אלא היה מחוייב לעשות כן. מתברר שאבחנה עדינה זו מספיקה כדי שאפשר יהיה לחשב באופן מדוייק את הסיכויים לכך שהפרס מסתתר מאחורי הדלת השניה: 2/3. בתנאים אלה, בוודאי שעדיף לעבור לדלת השניה. לכאורה נדמה שזו תוצאה אבסורדית, שכן (כאמור לעיל) על עצם הקיום של דלת מסתירת-עז שלא בחרנו בה, ידענו ממילא, ואם כך מה חידש המנחה? ומה היתרון שלנו על-פני אורח שהזדמן לאולפן אחרי שהדלת נפתחה (ומבחינתו הסיכויים לכל אחת משתי הדלתות הסגורות שווים)? הסיבה לכדאיות ההחלפה תוסבר בהמשך.

[עריכה] מקורה של הבעיה

השם "הבעיה של מונטי הול" ניתן לבעיה זו על ידי סטיב סלווין, לאחר שהציג אותה במאמר שפורסם בפברואר 1975 בכתב העת American Statistician, אף שבשעשועון המקורי אין בחירה חוזרת - לאחר שהשחקן בחר באחת משלוש הדלתות, מסתיים הסיפור.

הבעיה הוצגה עוד קודם לכן, בשנת 1959, על-ידי מרטין גארדנר, בטורו בירחון Scientific American. אצל גארדנר היא קרויה "בעיית שלושת האסירים" וניסוחה:

שלושה אסירים, א, ב, ג נידונו למוות. המושל בחר באופן אקראי אחד מהם והחליט להעניק לו חנינה, ואת בחירתו גילה רק לסוהר. הסוהר מסרב לגלות מה גורלו של א, אך מוכן לגלות שמבין שני האחרים, ב לא זכה בחנינה. הזוכה בחנינה הוא, אם כן, א או ג. מה ההסתברות שהזוכה בחנינה הוא א ?

בנוסח זה של הבעיה יש מעט פחות עמימות מאשר בנוסח הראשון שלנו ל"בעיה של מונטי הול", אם כי קל לראות ששתי הבעיות שקולות זו לזו. זו בעיה בפסיכולוגיה של סוהרים ויחסי אנוש, ולא בתורת ההסתברות.

לראשונה הופיעה הבעיה עוד בשנת 1889, בספרו של ז'וז'ף ברטרן Calcul des probabilites.

[עריכה] ניתוח הגרסה הראשונה

התשובה הנכונה לשאלה בגרסה הראשונה היא שאי אפשר לדעת מה עדיף. כפי שהבעיה מנוסחת שם, המנחה יכול היה שלא לפתוח אף דלת, ואולי אפילו יכול היה לפתוח את הדלת עם הפרס. מכיוון שכך, המנחה יכול להיות משתף פעולה ולהמליץ על החלפה רק אם טעינו (עם מנחה כזה, הסיכויים להצליח בהחלפה הם 100%), או רודף סנסציות שממליץ על החלפה רק אם צדקנו (ואז הסיכויים להצליח בהחלפה הם 0).

על-ידי מזיגת שתי התכונות האלה, אפשר 'לחשב' שהסיכויים להצליח בהחלפת הדלתות הם כל מספר שנרצה. גם כאן, הבעיה הופכת להיות סוגיה בפסיכולוגיה של מנחי טלוויזיה, ולא בהסתברות.

[עריכה] ניתוח הגרסה השניה

אם צדקנו בניחוש הראשון (והסיכוי לכך הוא 1/3), החלפת הדלת תגרום לנו להפסיד. ואם טעינו, המנחה פותח את הדלת השגויה האחרת ומשאיר אותנו עם הדלת הנכונה; במקרה כזה ההחלפה תבטיח לנו את הפרס, וזה קורה בסיכוי של 2/3.

היתרון שלנו על-פני האורח שנכנס אחרי פתיחת הדלת הוא זה: אנחנו בחרנו את הדלת שלנו כשהיא הייתה אחת משלוש, ולכן הסיכוי שלה להסתיר את הפרס הוא 1/3. מבחינת האורח, דלת זו היא אחת משתיים, והסיכוי שלה להסתיר את הפרס הוא 1/2. האבחנה הזו (איזו דלת נכונה בסיכוי 1/3 ואיזו נכונה בסיכוי 2/3) היא הדבר שאנחנו יודעים והאורח אינו יודע. הסיכוי תלוי בנקודת המבט. נאמר שהאורח מצביע על אחת הדלתות. מבחינתו, הסיכוי שזוהי הדלת הנכונה הוא חצי. אנחנו יודעים שהסיכוי הוא שליש או שני-שליש (תלוי כמובן באיזו דלת מדובר). באותה עת, מבחינת המנחה הכל-יודע, הסיכוי הוא אפס או אחד.

ישנן כמה הצעות שנועדו לרפא את האינטואציה הפגועה:

אם אחרי שבחרנו דלת היה המנחה מציע (תמיד) לנטוש אותה ולבחור במקומה בשתי הדלתות האחרות, היה ברור שכדאי לקבל את ההצעה. אבל בכך שהוא פותח אחת משתי הדלתות האחרות, המנחה מציע לנו בדיוק את ההצעה הזו: לקבל את שתי הדלתות שלא בחרנו, למעט זו שממילא מסתירה עז. כאן קל יותר להשתכנע שהסיכויים לזכות בפרס אחרי החלפה הם 2/3.
נניח שבמקום שלוש דלתות ישנן מאה, ולאחר שבחרנו אחת, המנחה פותח (תמיד) 98 דלתות ומגלה מאחוריהן 98 עזים. כאן קל להבין שהסיכויים לנצח בהחלפה הם 99/100, משום שהסיכוי להצליח בלי להחליף הוא בדיוק 1/100.

[עריכה] ניתוח מתמטי

יהיו המאורעות הבאים:

$D 1$ - האוצר מסתתר מאחורי דלת 1; $D 2$ - האוצר מסתתר מאחורי דלת 2; $D 3$ - האוצר מסתתר מאחורי דלת 3.

מאחר ושלושת מאורעות אלו הינם מאורעות שווי הסתברות, אזי מתקיים $P(D_1) = P(D_2) = P(D_3) = \frac{1}{3}$ .

מכיוון שהבעיה סימטרית, ננתח מקרה אחד, כאשר ניתוח זה יהיה תקף לכל שאר המקרים האחרים. נניח כי המשתתף בחר בדלת 1 ונניח כי מונטי גילה כי אין אוצר מאחורי דלת 3, מאורע אשר יסומן ב- $T 3$ . אנו רוצים למצוא מהי ההסתברות שהאוצר מאחורי דלת 2, בהינתן כי מונטי סיפר לנו שהוא לא מאחורי דלת 3, דהיינו אנו רוצים לחשב את הההסתברות $P(D_2|T_3) \frac{}{}$ .

מאחר וידוע כי מונטי אינו משקר, ההסתברות כי הוא יאמר שאין אוצר מאחורי דלת 3 בהינתן שיש אוצר מאחוריה היא 0, דהיינו $P(T_3|D_3) = 0 \frac{}{}$ ; ההסתברות שמונטי יאמר שאין אוצר מאחורי דלת 3 בהינתן שיש אוצר מאחורי דלת 2 היא 1, מאחר והוא לא יסגיר מידע לגבי הדלת שלנו ולא יחשוף את האוצר, דהיינו $P(T_3|D_2) = 1 \frac{}{}$ ; ההסתברות שמונטי יאמר שאין אוצר מאחורי דלת 3 בהינתן שיש אוצר מאחורי דלת 1 היא חצי, מאחר ובחרנו נכון והוא יכול לפתוח או את דלת 2 או את דלת 3, דהיינו $P(T_3|D_1) = \frac{1}{2}$ .

כעת, בהסתמך על נוסחת ההסתברות השלימה נחשב מהי ההסתברות שמונטי יאמר כי האוצר אינו מאחורי דלת 3:

$P(T_3) = P(T_3|D_1) \cdot P(D_1) + P(T_3|D_2) \cdot P(D_2) + P(T_3|D_3) \cdot P(D_3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{2}$

זאת אומרת, אחרי שהמשתתף בחר בדלת 1, ההסתברות שמונטי יאמר כי האוצר אינו מאחורי דלת 3 היא חצי. כעת, נוכל להשתמש בנוסחת בייס בכדי לחשב מהי ההסתברות שהאוצר מאחורי דלת 2 בהינתן שמונטי אמר שהוא לא מאחורי דלת 3 (כשהמשתתף בחר בתחילה בדלת 1):

$P(D_2|T_3) = \frac{ P(T_3|D_2) \cdot P(D_2) }{P(T_3)} = \frac{ 1 \cdot \frac{1}{3} } { \frac{1}{2} } = \frac{2}{3}$

הראנו כי לאחר שהמשתתף בחר בדלת 1 ולאחר שמונטי גילה לו שאין אוצר מאחורי דלת 3, אזי האיסטרטגיה הטובה ביותר תהייה לעבור לדלת 2, מש"ל.

[עריכה] קישורים חיצוניים

ניסוי מחשב, המראה שמי שתמיד נשאר עם הדלת שלו זוכה בשליש מהפעמים, מי שתמיד מחליף דלת זוכה בשני שליש מהפעמים, ומי שמגריל מחדש את הדלת שהוא בוחר אחרי שהמנחה פתח דלת אחת זוכה בממוצע בחצי מהנסיונות.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%91/%D7%A2/%D7%99/%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%98%D7%99_%D7%94%D7%95%D7%9C.html

קטגוריה: תורת ההסתברות