確率論

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確率論（かくりつろん、Probability theory）とは、確率的な予言しかできない偶然現象に対して数学的なモデルを与え、厳密に解析する数学の一分野である。17世紀にパスカル、フェルマー、ホイヘンス等によって数学の一分野としての端緒が開かれた。

現代数学の確率論は、アンドレイ・コルモゴロフの "確率論の基礎概念"（1933年）に始まる公理主義的確率論である。他の現代数学と同様に、この確率論では「確率」が何を意味しているのかという問題は追求せず、「確率」が満たすべき性質をいくつか規定し、その性質から導くことのできる定理を突き詰めていく学問である。この確率論の基礎には集合論・測度論・ルベーグ積分があり、確率論を学ぶためにはこれらの知識が要求される。

現在、確率論は解析学の一分野として分類されている。特にルベーグ積分論や関数解析学とは密接なつながりがある。もちろん離散数学との関係も依然として深いが、離散的な場合であってもその内容は解析的なものであることが多い(つまり、不等号を駆使する学問である)。また、確率論は統計学を記述する際の言語や道具としても重要である。

[編集] 基礎概念

確率論で使われるいくつかの重要な概念を簡単に解説する。詳しい内容は各項目のページにある。

標本空間: 確率論においてはただの集合であり Ω と書く。空集合でない集合ならなんでも標本空間としてよい。意味的には、確率を問題としている領域において、ランダムに起こりうる現象の原因をすべて集めてきた集合である。このため、通常は非常に巨大な集合となる。この領域における確率論的な現象は「Ω からひとつの元 ω が選ばれるが、どの元が選ばれたのか分からない」ということがすべてのランダムさの原因になるように記述される。

事象: 標本空間の部分集合のうち特別に選ばれたものを事象と呼ぶ。事象とする部分集合は勝手に決めてよいが、すべての事象を集めた集合 F は可算加法族になっている必要がある。確率論において、事象だけが確率を測ることのできる対象である。それ以外に、F は情報としての意味を持つ。事象 A に対して、Ω からランダムに選ばれた ω が A に含まれるか含まれないかは判断できる。F に含まれるすべての事象を使えば ω をひとつに特定できるかもしれないし、できないかもしれない。F の代わりに F より小さな可算加法族を使えば、特定できない ω が増加する。このように、可算加法族の大きさは標本空間を観察する目の細かさを表している。

確率測度: 各事象に対して 0 以上 1 以下の数を対応させる関数を確率測度といい P と書き、事象 A の起こる確率は P(A) となる。Ω 自体は常に全事象と呼ばれる事象であり、全事象の起こる確率は 1 でなければならない。P も勝手に決めていい関数であるが、確率測度の公理を満たすように定める必要がある。客観確率のもついくつかの性質を選んだものであるが、ベイズ統計学のような主観確率を問題とする場合でも、人間はこの公理を満たすほど合理的な基準で確率を定めると仮定することによって、主観確率のモデルとして確率測度を使用する。

確率空間: 標本空間 Ω と事象の全体 F と確率測度 P の組を確率空間と呼ぶ。確率の問題を確率論的に定式化するということは、この確率空間を定めることである。しかし、通常はその問題にはどのような確率変数が存在するかということを調査し、必要となる確率変数をすべて含むことができるぐらい巨大な Ω を定める。

確率変数: Ω 上で定義された実数値関数で、F 可測であるものを確率変数と呼ぶ。確率変数は、例えば「サイコロの目」のように、ランダムに値が決まる対象を定式化するものである。この定式化では、確率変数の値は「Ω からランダムに選ばれた ω」を元に自動的にひとつに定まる。すなわち、確率変数のランダムさの要因は「Ω からランダムに ω が選ばれる」ということのみになる。F 可測であるというのは、確率変数が ω に関してもたらす情報が F による情報を超えないということである。例えば、F によって区別できない複数の ω があるとすると、確率変数の値によっても、それらを区別することはできない。