伊藤の補題
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確率論において、伊藤の補題(いとうのほだい、Ito's lemma)は日本人数学者・伊藤清による、ランダムな要因を持つ確率過程に関する定理。
数理ファイナンスなどで利用される。
目次 |
[編集] ステイトメント
[編集] 第 1 補題
f がブラウン運動Wt上の実数値関数関数とし, Wtについて3回以上微分可能とすると
が成立する。
つまり、ブラウン運動上の実数値関数をテイラー展開すると、3次以上の項は0となる。すなわち、2次までのテイラー展開の剰余項が0となることがわかる。(証明は伊藤ルールを使って2次までのテイラー展開の剰余項が0になることを示せばよい。)
伊藤ルールとこれを組み合わせて次のような計算ができる。
[編集] 第 2 補題
f がブラウン運動 Wt 上の実数値関数関数とし, Wt について 3 回以上偏微分可能とすると
が成立する。
[編集] 第 3 補題
確率過程 {Xt} が確率微分方程式
- dXt = f(Xt,t)dWt + g(Xt,t)dt
に従っているとき, h がブラウン運動 Wt 上の実数値関数関数とし, Wt について3 回以上偏微分可能とすると
が成立する。