確率空間

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現代的な確率論において、確率空間とは、確率を議論しようとしている全ての事象について、それらがランダムに発生する要因をすべて集めてきて、個々の要因にたいして確率を与えたものである。この個々の要因のことを根源事象と呼ぶ。確率論においては全てのランダムの原因は根源事象にあって、他の事象のランダムさはこの根源事象から派生したものだと考える。

例として、コインを投げて表が出れば 10 円もらえ、裏が出れば 10 円を失うといった賭けにおいて、表にかけ続けた場合に資金を全て失うまで賭けるという問題を考える。確率論的な議論を行うには根源事象として、すべてのコインの出現パターンを集める必要がある。すなわち

表表表表…
裏表表表…
表裏表表…
裏裏表表…
表表裏表…
…

という無限列全てから成る集合が確率空間となる。このような非可算無限集合の各々の元に確率を割り当てるには測度論の知識が必要となる。このような理由から、現代的な確率論の成立には測度論やルベーグ積分が生まれるまで待たなければ成らなかったのである。一方で、最近では測度論の研究はほとんど確率論の研究と同義になっている。　前の例において、表に賭け続けていたのをやめて、どちらに賭けるかをランダムに決めるようにした場合は、上で考えた確率空間ではランダムさが不足している。ランダムさを補うために直積確率空間を作って、より大きな確率空間を元に議論を進めることになる。

このように十分大きな確率空間を作ると、考えている全てのランダムな事象を根源事象によって記述できる代わりに、根源事象自体が何を表していたかというのが分かりにくくなるが、確率論においては根源事象自体の性質について通常まったく考えることはない。

[編集] 定義

数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。

このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。また、E の元としての S を全事象という。

事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。

必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。

[編集] 例

実数からなる区間 [0, 1] とそのボレル集合族 B からなる可測空間 ([0, 1], B) 上でルベーグ測度 μ を考えれば、μ([0, 1]) の値は区間の長さ |[0, 1]| = 1 - 0 = 1 に等しいので、μ は ([0, 1], B) 上の確率測度であり、三つ組 ([0, 1], B, μ) は確率空間になる。

サイコロ投げの確率空間は次のようなものである: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = 2^S, P({k}) = 1/6 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

[編集] コルモゴロフの公理

確率測度の定義は、コルモゴロフによる次のような確率の公理の形にまとめることが出来る。

第一公理: 全ての事象の起きる確率は 0 と 1 の間である; 0 ≤ P(E) ≤ 1 for all E ∈ E 。
第二公理: 全事象 S の起きる確率は 1 である; P(S) = 1 。
第三公理: 可算個の排反事象に関する和の法則が成り立つ; {E_k}_k∈N が、どの二つも互いに共通部分を持たないような E の元の可算列ならば

$P\left(\bigcup_{k \in \mathbb{N}} E_k\right) = \sum_{k \in \mathbb{N}} P(E_k)$ 。