Funzioni iperboliche

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In matematica, le funzioni iperboliche costituiscono una famiglia di funzioni speciali dotate di alcune proprietà analoghe a corrispondenti proprietà delle ordinarie funzioni trigonometriche.

sinh, cosh e tanh per arg. reali

csch, sech e coth per arg. reali

Indice

1 Definizioni
2 Relazione con le funzioni trigonometriche
3 Funzioni iperboliche inverse
4 Funzioni iperboliche fornite da integrali
5 Funzioni iperboliche di argomento complesso

[modifica] Definizioni

Possiamo definire le funzioni iperboliche in questo modo:

Data un'iperbole equilatera,quindi con a=b=r, centrata con gli assi sugli assi coordinati e dato un angolo α,consideriamo il settore iperbolico di area ½ α, questo determina un punto P come intersezione con l'iperbole; definiamo quindi seno iperbolico (

sinh

) l'ordinata del punto P e coseno iperbolico (

cosh

) l'ascissa del punto P; conseguentemente si possono definire le altre funzioni iperboliche tramite

sinh

cosh

così come si fa per quelle trigonometriche.

Possiamo anche dare le loro definizioni basate su funzioni esponenziali.

Funzione seno iperbolico

$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

Funzione coseno iperbolico

$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

Funzione tangente iperbolica

$\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

Funzione cotangente iperbolica

$\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$

Funzione secante iperbolica

$\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$

Funzione cosecante iperbolica

$\operatorname{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$

In queste definizioni x si può considerare variabile reale o complessa.

[modifica] Relazione con le funzioni trigonometriche

Per x reale la funzione cosh x è una funzione pari, cioè simmetrica rispetto all'asse y; la funzione sinh x è invece una funzione dispari, cioè simmetrica rispetto all'origine.

Conseguentemente sono funzioni dispari anche tanh x, coth x e cosech x, mentre sec x è pari.

Si trovano poi i seguenti valori particolari:

$\sinh\;0\;=\;0 \qquad \cosh\;0\;=\;1 \qquad \tanh\;0\;=\;0 \qquad \operatorname{sech}\;0\;=\;1$

Al variare della variabile reale t i punti (cos t, sin t) definiscono la circonferenza x² + y² = 1; analogamente i punti (cosh t, sinh t) definiscono l'iperbole equilatera x² - y² = 1.

Questa è una conseguenza dell'identità

$(\cosh t)^2 - (\sinh t)^2 = 1. \,$

derivabile dalle definizioni mediante funzioni esponenziali con manipolazioni algebriche elementari.

Come funzioni di variabile reale le funzioni iperboliche non sono periodiche.

L'argomento t delle funzioni seno e coseno che definiscono la circonferenza può essere interpretato naturalmente come un angolo; la t argomento delle funzioni iperboliche rappresenta invece due volte l'area compresa tra il segmento che collega l'origine con il punto (cosh t, sinh t) su un ramo dell'iperbole equilatera, l'arco di tale iperbole che si conclude nel punto (t,0) sull'asse x e il segmento sull'asse x da questo punto all'origine.

Le funzioni iperboliche soddisfano molte identità, simili a corrispondenti identità trigonometriche. In effetti, la formula di Osborne specifica che si può convertire ogni identità trigonometrica in una identità iperbolica sviluppandola completamente in termini di potenze intere di seni e coseni, trasformando ogni sin in sinh e ogni cos in cosh e infine cambiando il segno di ogni termine che contiene un prodotto di due sinh. Procedendo in questo modo, ad esempio, si trovano i teoremi di addizione

$\sinh(x+y) = \sinh(x) \cosh(y) + \cosh(x) \sinh(y) \,$ : $\cosh(x+y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y) \,$

e le formule dell'angolo dimezzato

$\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cosh(x)}{2}$

$\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh(x)-1}{2}$

La derivata di sinh x è data da cosh x e la derivata di cosh x è sinh x; questo collegamento si legge facilmente sui grafici delle funzioni. Il grafico della funzione cosh x è la curva catenaria, profilo assunto da un cavo con densità uniforme con le due estremità fissate e sottoposto alla gravità.

[modifica] Funzioni iperboliche inverse

Le inverse delle funzioni iperboliche sono

$\operatorname{arsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

$\operatorname{arcosh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$

$\operatorname{artanh}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

$\operatorname{arcoth}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

$\operatorname{arsech}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)$

$\operatorname{arcsch}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)$

[modifica] Funzioni iperboliche fornite da integrali

$\int \frac {dx} {\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{arcsin}(x) = - \operatorname{arccos}(x) + \frac {\pi}{2}$

$\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arcsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

$\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arccosh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$

$\int \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{\operatorname{arcsin}(x) + x\sqrt{1 - x^2}}{2}$

$\int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{\operatorname{arcsinh}(x) + x\sqrt{x^2 + 1}}{2} = \frac{\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + x\sqrt{x^2 + 1}}{2}$

$\int \sqrt{x^2 - 1} dx = \frac{- \operatorname{arccos}h(x) + x\sqrt{x^2 - 1}}{2} = \frac{- \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) + x\sqrt{x^2 - 1}}{2}$

$\int \frac {dx} {1 + x^2} = \operatorname{arctan}(x)$

$\int \frac {dx} {1 - x^2} = \operatorname{arctanh}(x) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

[modifica] Funzioni iperboliche di argomento complesso

Dato che la funzione esponenziale può essere definita per ogni argomento complesso, possiamo estendere la definizione delle funzioni iperboliche anche agli argomenti complessi. Le funzioni sinh z e cosh z sono quindi olomorfe per ogni argomento complesso; le loro espressioni in serie di Taylor sono fornite dall'articolo serie di Taylor.

Le relazioni con le funzioni trigonometriche sono ottenute dalla formula di Eulero per i numeri complessi:

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

$\cosh(ix) = \frac{(e^{ix} + e^{-ix})}{2} = \cos(x)$

$\sinh(ix) = \frac{(e^{ix} - e^{-ix})}{2} = i \sin(x)$

$\tanh(ix) = i \tan(x) \,$

$\sinh(x) = -i \sin(ix) \,$

$\cosh(x) = \cos(ix) \,$

$\tanh(x) = -i \tan(ix) \,$

$\operatorname{arcsinh}(x) = i \arcsin(-ix)$

$\operatorname{arccosh}(x) = i \arccos(x)$

$\operatorname{arctanh}(x) = i \arctan(-ix)$

Trigonometria
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