Funzioni di Struve

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In matematica le funzioni di Struve sono funzioni speciali definibili a partire da un'equazione differenziale ordinaria.

Indice

1 Definizione
2 Sviluppi in serie
3 Collegamenti con altre funzioni speciali
4 Collegamenti esterni
5 Bibliografia

[modifica] Definizione

Consideriamo la equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine non omogenea

$z^2 \frac{d^2 w}{dz^2} + x \frac{d w}{dz} + (z^2-\nu^2)w = \frac{4(z/2)^{\nu+1}} {\sqrt{\pi} \Gamma(\nu+{1\over 2}) }$ .

Essa ha come corrispondente omogenea l'equazione di Bessel; dunque la sua soluzione generale ha una forma del tipo

$w(z) = a J_\nu(z) + b Y_\nu(z) + \mathbf{H}_\nu(z)$ ,

dove a e b sono costanti arbitrarie, mentre $\,J_\nu(z)\,$ e $\,Y_\nu(z)\,$ denotano rispettivamente le funzioni di Bessel del primo e del secondo genere. La funzione $\,\mathbf{H}_\nu(z)\,$ è una qualsiasi soluzione particolare dell'equazione differenziale precedenti; essa viene chiamata funzione di Struve di ordine $ν$ .

[modifica] Sviluppi in serie

$\mathbf{H}_\nu(z) = \left(\frac{z}{2}\right)^{\nu+1} \, \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{ (\frac{z}{2})^{2k} } {\Gamma(k+\frac32)\Gamma(k+\nu+\frac32) }$

$\mathbf{H}_0(z) = \frac{2}{\pi} \,z\, \left[ 1 + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \prod_{j=1}^k \left(\frac{z}{2j+1}\right)^2 \right]$

$\mathbf{H}_1(z) = -\frac{2}{\pi} \, \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \prod_{j=1}^k \frac{z^2}{4j^2-1}$

[modifica] Collegamenti con altre funzioni speciali

Le funzioni di Struve presentano collegamenti piuttosto stretti con varie funzioni speciali: funzioni di Bessel $\,J_\nu(z)\,$ e $\,Y_\nu(z)\,$ , funzioni di Bessel sferiche modificate $\,I_\nu(z)\,$ , funzioni di Anger $\mathbf{J}_\nu(iz)$ , funzioni di Weber $\mathbf{E}_\nu(iz)$ e funzioni di Struve modificate $\mathbf{L}_\nu(iz)$ .

[modifica] Collegamenti esterni

Struve Function in MathWorld

[modifica] Bibliografia

Y. L. Luke (1962): Integrals of Bessel functions, McGraw-Hill
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Chapter 12
Shanjie Zhang, Jianming Jin (1996): Computation of Special functions, J.Wiley (Chapter 11)

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