Funzioni di Mathieu

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In matematica, le funzioni di Mathieu sono funzioni speciali utili per trattare una varietà di problemi interessanti della matematica applicata quali:

membrane vibranti ellittiche,
vari problemi concernenti la risonanza parametrica,
soluzioni esatte di onda piana in relatività generale.

Queste funzioni sono state introdotte nel 1868 dal matematico francese Emile Mathieu (1835-1890) per affrontare il primo dei problemi sopra accennati.

[modifica] Definizione

Le funzioni di Mathieu sono definite come le soluzioni dell'equazione di Mathieu

$\frac{d^2y}{dx^2}+[a-2q\cos (2x) ]\,y=0$ .

La sostituzione $x \rightarrow \arccos(x)$ consente di dare a questa equazione la forma razionale

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x}{1-x^2} \, \frac{d y}{dx} + \frac{( 4x^2-2) \, q -a}{1-x^2} \, y$

Questa presenta due singolarità regolari per x = -1,1 e una singolarità irregolare all'infinito; questo implica che in generale (contrariamente a quanto accade alla maggior parte delle funzioni speciali) le soluzioni dell'equazione di Mathieu non possono essere espresse in termini di funzioni ipergeometriche.

[modifica] Soluzione di Floquet

Grazie al teorema di Floquet, per valori fissati di a e q, l'equazione di Mathieu ammette una soluzione a valori complessi della forma

$F(a,q,x) = \exp(i \mu) \, P(a,q,x)$

dove $μ$ è un numero complesso, chiamato esponente di Mathieu, e P è una funzione a valori complessi che è periodica con periodo $π$ . Tuttavia in generale la P non è sinusoidale. Nel grafico che segue viene visualizzato il caso nel quale $a=1, \, q=\frac{1}{5}, \, \mu \approx 1 + 0.0995 i$ (parte reale in rosso, parte immaginaria in verde):

[modifica] Funzioni seno e coseno di Mathieu

Per a e q fissati, si definisce funzione coseno di Mathieu $\,C(a,q,\xi)\,$ una funzione di $ξ$ definita come l'unica soluzione dell'equazione di Mathieu la quale

assume il valore $\,C(a,q,0)=1\,$ ,
è una funzione pari, o equivalentemente ha per la derivata $C^\prime(a,q,0)=0$ .

Similmente si definisce come funzione seno di Mathieu $\,S(a,q,\xi)\,$ l'unica soluzione la quale

assume il valore $\,S(a,q,0)=0\,$ ,
è una funzione dispari, o equivalentemente ha per la derivata $S^\prime(a,q,0)=0$ .

Queste sono funzioni a valori reali strettamente collegate alla soluzione di Floquet:

$C(a,q,x) = \frac{\exp(i \mu)}{F(a,q,0)} \, \frac{P(a,q,x) + P(a,q,-x)}{2}$

$S(a,q,x) = \frac{\exp(i \mu)}{F(a,q,0)} \, \frac{P(a,q,x) - P(a,q,-x)}{2}$

La soluzione generale dell'equazione di Mathieu (per valori fissati di a e q) è una combinazione lineare delle funzioni coseno e seno di Mathieu.

Un caso speciale notevole è

$C(a,0,x) = \cos(\sqrt{a} x), \;\; S(a,0,x) = \frac{\sin(\sqrt{a} x)}{\sqrt{a}}$

In generale, seno e coseno di Mathieu sono funzioni aperiodiche. Ciò nonostante, per piccoli valori di q, si hanno le uguaglianze approssimate

$C(a,q,x) \approx \cos(\sqrt{a} x), \;\; C^\prime(a,q,x) \approx \sqrt{a} \cos (\sqrt{a} x)$

Ad esempio:

Rosso: C(0.3,0.1,x).

Rosso: C'(0.3,0.1,x).

[modifica] Soluzioni periodiche

Dato q, per un insieme numerabile di valori speciali di a, chiamati valori caratteristici, l'equazione di Mathieu ammette soluzioni periodiche di periodo $2π$ . I valori caratteristici del coseno e del seno di Mathieu li denotiamo rispettivamente con $\,a_n(q)\,$ e $\,b_n(q)\,$ , dove n corre sui numeri naturali. Le speciali funzioni coseno e seno di Mathieu periodiche sono spesso scritte $CE(n,q,x), \, SE(n,q,x)$ rispettivamente; tradizionalmente venivano invece normalizzate diversamente con una diversa normalizzazione consistente nella richiesta che la loro norma L² fosse uguale a $π$ ). Quindi per valori positivi della q abbiamo

$C \left( a_n(q),q,x \right) = \frac{CE(n,q,x)}{CE(n,q,0)}$

$S \left( b_n(q),q,x \right) = \frac{SE(n,q,x)}{SE^\prime(n,q,0)}$

Qui sono presentate le prime poche funzioni coseno di Mathieu che sono periodiche relative a q = 1:

Si noti che, ad esempio, $\,CE(1,1,x)\,$ (in verde) assomiglia a una funzione coseno, ma presenta elevazioni più smussare e vallate più allargate.

[modifica] Motori di calcolo simbolico

Nei sistemi computazionali Maple e Mathematica sono implementate varie funzioni speciali collegate alle funzioni di Mathieu.

[modifica] Voci correlate

Onda elettromagnetica piana monocromatica, esempio di una importante soluzione esatta di onda piana dell'equazione del campo di Einstein in relatività generale espressa mediante le funzioni coseno di Mathieu. *Pendolo invertito