Funzione gaussiana

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Funzioni gaussiane per diversi valori medi (

μ

) e vari valori di

σ 2

Una funzione gaussiana è una funzione della seguente forma:

$f(x) = a e^{-(x-b)^2/c^2}$

per qualche costante reale a > 0, b e c. Il nome di queste funzioni ricorda il grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

Le funzioni gaussiane con c² = 2 sono autofunzioni della trasformata di Fourier.

Le funzioni gaussiane si collocano tra le funzioni speciali "elementari" e possono essere introdotte nei primi corsi di calculus; esse mancano però di "integrali elementari", cioè, i loro integrali non si sanno individuare con espressioni ottenute con composizioni semplici (mediante operazioni razionali e radicali) di funzioni elementari. Tuttavia i loro integrali impropri, dove l'integrazione è fatta su tutta la retta reale, possono essere valutati esattamente:

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}~.$

Questo integrale, detto integrale di Gauss, può essere ottenuto tramite il teorema del residuo dell'analisi complessa, ma può anche calcolarsi con un procedimento analitico semplice.

Dimostrazione :

Ponendo $I = \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx$

Si ha che : $I^2 = \int_{0}^\infty e^{-y^2}\,dy \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx = \int_{0}^\infty \int_{0}^\infty e^{ - \left( y^2 + x^2 \right)}\,dydx$

Passiamo a coordinate polari cioè poniamo $x = r cos {\theta} \,$ e $y =r sin{\theta} \,$ (Teniamo in esame il primo quadrante) e con i valori di $r,\theta \,$ (rispettivamente raggio e angolo) compresi tra : $0 \; < r \; < \infty$ e $0 \; < \theta \; < \frac{\pi}{2}$

Rispolverando il teorema di pitagora per cui $y^2 + x^2 = r^2 \,$

Si può quindi scrivere : $I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_{0}^\infty r e^{-r^2} \,dr \right) d\theta$ da cui : $I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left ( - \frac{1}{2} e^{-r^2} |_{0}^{\infty} \right) d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{4}$

Quindi è dimostrato che la relazione $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=2\sqrt{I^2} = \sqrt{\pi}$

[modifica] Applicazioni

Le funzioni gaussiane si incontrano in numerosi capitoli della matematica, della fisica e delle altre discipline quantitative; vediamo alcuni esempi.

L'integrale della funzione gaussiana è la funzione degli errori.

In statistica e in teoria della probabilità, le funzioni gaussiane si presentano come funzioni di densità della distribuzione normale, che è la distribuzione di probabilità limite di somme sufficientemente complicate di funzioni di distribuzione, in accordo con il teorema del limite centrale. La distribuzione normale relativa al valore atteso m e alla varianza σ e normalizzata ha la forma

$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}~.$

Nello studio delle funzioni speciali la funzione gaussiana gioca il ruolo di funzione peso nella definizione dei polinomi di Hermite come polinomi ortogonali.

Una funzione gaussiana è la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico quantistico. Di conseguenza, le funzioni gaussiane (e i corrispondenti funzionali) sono anche associati allo stato di vuoto nella teoria quantistica dei campi.