Q-serie ipergeometrica

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In matematica, le q-serie ipergeometriche, chiamate anche serie ipergeometriche basiche, sono generalizzazioni q-analoghe delle serie ipergeometriche ordinarie. Si definiscono comunemente due tipi di q-serie, le q-serie ipergeometriche unilaterali e le q-serie ipergeometriche bilaterali.

La terminologia viene stabilita in analogia con quella delle serie ipergeometriche ordinarie. Una serie ordinaria

∑	x_n
n

viene detta serie ipergeometrica (ordinaria) se il rapporto fra termini successivi $x n + 1 / x n$ è una funzione razionale di n. Se invece il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di $q n$ , la serie corrispondente viene detta q-serie ipergeometrica.

Le q-serie ipergeometriche sono state analizzate per la prima volta da Eduard Heine nel XIX secolo, al fine di individuare caratteristiche comuni alle funzioni teta di Jacobi e alle funzioni ellittiche.

[modifica] Definizione

Si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale in 2 k + 1 parametri e nella variabile z

$\;_{k+1}\phi_k \left[\begin{matrix} a_0, & a_1, & a_2, & \ldots, & a_k \\ & b_1, & b_2, & \ldots, & b_k \end{matrix} ; q,z \right] = \sum_{n=0}^\infty \frac {(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k;q)_n} {(q,b_1, b_2, \ldots, b_k;q)_n} z^n$

dove

$(a_1,a_2,\ldots,a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \ldots (a_m;q)_n$

è il q-fattoriale crescente.

La q-serie ipergeometrica bilaterale in 2 k parametri e nella variabile z viene definita come

$\;_k\psi_k \left[\begin{matrix} a_1, & a_2, & \ldots, & a_k \\ b_1, & b_2, & \ldots, & b_k \end{matrix} ; q,z \right] = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac {(a_1, a_2, \ldots, a_k;q)_n} {(b_1, b_2, \ldots, b_k;q)_n} z^n$ .

[modifica] Semplici esempi

Alcuni semplici esempi di queste serie includono

$\frac{z}{1-q} \;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} q,& q \\ &q^2 \end{matrix}\; ; q,z \right] = \frac{z}{1-q} + \frac{z^2}{1-q^2} + \frac{z^3}{1-q^3} + \ldots$ ,

$\frac{z}{1-q^{1/2}} \;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} q, & q^{1/2} \\ & q^{3/2} \end{matrix}\; ; q,z \right] = \frac{z}{1-q^{1/2}} + \frac{z^2}{1-q^{3/2}} + \frac{z^3}{1-q^{5/2}} + \ldots$

$\;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} q, & -1 \\ & -q \end{matrix}\; ; q,z \right] = 1+ \frac{2z}{1+q} + \frac{2z^2}{1+q^2} + \frac{2z^3}{1+q^3} + \ldots$

[modifica] Semplici identità

Tra le identità più semplici segnaliamo

$\;_{1}\phi_0 (a;q,z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1-aq^n z}{1-q^n z}$

$\;_{1}\phi_0 (a;q,z) = \frac {1-az}{1-z} \;_{1}\phi_0 (a;q,qz)$

Il caso particolare relativo ad $a = 0$ è strrettamente collegato alla funzione q-esponenziale.

[modifica] Identità di Ramanujan

Ramanujan ha scoperto l'identità

$\;_1\psi_1 \left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix} ; q,z \right] = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac {(a;q)_n} {(b;q)_n} = \frac {(b/a;q)_\infty\; (q;q)_\infty\; (q/az;q)_\infty\; (az;q)_\infty } {(b;q)_\infty\; (b/az;q)_\infty\; (q/a;q)_\infty\; (z;q)_\infty}$

valida per $| q | < 1$ e $| b / a | < | z | < 1$ . Una fondamentale identità simile alla precedente concernente $\,_6\psi_6\,$ è stata data da Bailey. Si è capito che tale identità è una generalizzazione del teorema del triplo prodotto di Jacobi, il quale può essere scritto mediante la q-serie come

$\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n(n+1)/2}z^n = (q;q)_\infty \; (-1/z;q)_\infty \; (-zq;q)_\infty$ .

Inoltre questa identità generalizza anche una analoga identità concernente un prodotto quintuplo.

Ken Ono propone una serie formale di potenze collegata

$A(z;q) = \frac{1}{1+z} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z;q)_n}{(-zq;q)_n}z^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n} q^{n^2}.$

[modifica] q-serie ipergeometrica generalizzata

In generale, seguendo Gasper e Rahman, si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale secondo Gasper in r + s + 1 parametri e nella variabile z

$\;_{r+1}\phi_s \left[\begin{matrix} a_0, & a_1, & a_2, & \ldots, & a_r \\ & b_1, & b_2, & \ldots, & b_s \end{matrix} ; q,z \right] :\!= \sum_{n=0}^\infty \{(-1)^nq^{n\choose 2}\}^{s-r} \frac {(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_r;q)_n} {(q,b_1, b_2, \ldots, b_s;q)_n} z^n$

[modifica] Bibliografia

Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97-125.
Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.
W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
Chu WenChang (1998): Basic Almost-Poised Hypergeometric Series, Memoirs of the American Mathematical Society, N. 642, ISBN 0-8218-0811-7.
Gwynneth H. Coogan and Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions, (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131, pp. 719-724
George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's $\,_1\psi_1$ Summation, (senza data)