Hilbert-tér

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Hilbert-tér a modern matematika fontos fogalma: olyan skalárszorzatos vektortér, mely teljes a skalárszorzat által definiált normára nézve. A Hilbert-tereket a funkcionálanalízis tanulmányozza. A Hilbert-térnek alapvető jelentősége van a kvantummechanika megalapozásában, jóllehet a kvantummechanika sok alapvető tulajdonsága megérthető a Hilbert-terek mélyebb megértése nélkül.

[szerkesztés] Bevezetés

A Hilbert-teret David Hilbertről nevezték el, aki az integrálegyenletekkel kapcsolatban tanulmányozta azokat. Az elnevezés eredete „der abstrakte Hilbertsche Raum” Neumann Jánostól származik, a nemkorlátos hermitikus operátorokról szóló 1929-es híres cikkéből. Neumann volt talán az a matematikus, aki legtisztábban látta a jelentőségét, annak a megtermékenyítően ható munkájának következtében, mellyel a kvantummechanikát szilárd alapokra helyezte. ??Ezt a munkát Hilbert és Lothar (Wolfgang) Nordheim kezdte és Wigner Jenő folytatta.?? A „Hilbert-tér” elnevezést hamarosan mások is elfogadták, például Hermann Weyl az 1931-ben publikált A csoportok és a kvantummechanika elmélete (The Theory of Groups and Quantum Mechanics) című könyvében.

(…a szócikk további része lefordítandó…)

Az absztrakt Hilbert-tér elemeit „vektoroknak” nevezik. A gyakorlatban gyakran komplex számokból vagy függvényekből álló sorozatok. A kvantummechanikában például egy fizikai rendszert egy „hullámfüggvényekből” álló komplex Hilbert-tér ír le, mely hullámfüggvények a rendszer egyes állapotait írják le. The Hilbert space of plane waves and bound states commonly used in quantum mechanics is known more formally as the rigged Hilbert space.

[szerkesztés] Definíció

Minden $\left\langle \cdot \,, \cdot \right\rangle$ skalárszorzattal rendelkező valós vagy komplex H vektortérben értelmezhető egy ||.|| norma a következőképp:

$\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ ,

ebből pedig származtatható egy metrika:

$d(x,y) = \|x-y\|$

A H teret Hilbert-térnek nevezzük, ha teljes erre a metrikára nézve, azaz minden Cauchy-sorozat konvergens.

Minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is (de fordítva nem igaz).

Minden véges dimenziós belsőszorzattal rendelkező tér (mint az Euklideszi-tér a szokásos skalár szorzattal) Hilbert-teret alkot. Valójában a végtelen dimenziós terek jelentősége az alkalmazások területén sokkal nagyobb. Pár példa ezekre:

Az unitér csoportreprezentációk elmélete
A négyzetesen integrálható sztochasztikus folyamatok
A parciális differenciálegyenletek Hilbert-tér elmélete, különösen a Dirichlet-probléma megfoglamazásai
A függvények spektrális analízise, beleértve a waveleteket
A kvantummechanika matematikai megfogalmazásai

A belső szorzat teszi lehetővé a „geometriai” látásmód megőrzését, és a véges dimenziós terekben megszokott geometriai nyelvezet használatát. Az összes végtelen dimenziós topologikus vektortér közül a Hilbert-terek a „legjobban viselkedőek” és ezek állnak legközelebb a véges dimenziós terekhez.

A Fourier-analízis egyik célja, hogy egy adott függvényt adott alapfüggvények kombinációjaként írjunk fel, azaz olyan (esetleg végtelen) összegként, melyben az alapfüggvények többszörösei a tagok. Ez a probláma absztrakt módon vizsgálható Hilbert-terekben: minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa, és a Hilbert-tér minden eleme egyféleképp írható fel a báziselemek kombinációjaként, azaz olyan öszegként, melyben a bázisvektorok többszörösei (skalárszorosai) szerepelnek.