Metrikus tér

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A metrikus tér fogalma a matematikában olyan halmazt jelent, melyen egy távolságfüggvény, azaz metrika van értelmezve. Ez a halmaz bármely két eleméhez nemnegatív valós számot rendel („két elem közti távolságot mér”). A fogalmat M. R. Fréchet francia matematikus vezette be (ld. lentebb) .

Sajnos a magyar „mérték” szó kétértelmű, meg kell különböztetnünk a metrika (mérték) fogalmát egy halmaz hatványhalmazán értelmezett ún. mérték fogalmától, mely szintén topológiai eredetű fogalom, de míg az előbbi értelemben vett mértékek (metrikák) a „távolság” fogalmát próbálják absztrahálni, egy halmaz elempárjaihoz rendelve nemnegatív számot; addig az utóbbi értelemben vett mérték a „valószínűség” és a „terület” fogalmának általánosítása, és egy halmaz (kettőnél akár több, esetleg végtelen sok elemű) részhalmazaihoz rendel nemnegatív számokat. E kétértelműség miatt az előbbi értelemben vett mérték fogalmára az idegen eredetű „metrika” kifejezést alkalmazzuk a „mérték” szó helyett.

A metrikus terek elméletének alapgondolata, hogy sok, sőt, valójában mindegyik nemüres halmazban bevezethető olyan függvény, amely két elem „távolságát” méri. A távolság(függvény), metrika definíciója „axiomatikus”; a távolságfüggvényeknek meg kell felelni három, a számegyenesen mért távolságra is jellemző egyszerű tulajdonságnak (távolság ne függjön az elemek sorrendjétől; két elem távolsága akkor és csak akkor 0, ha e két elem egybeesik, egyébként távolságuk pozitív; továbbá érvényes legyen a „háromszög-egyenlőtlenség”).

A pontosabb, matematikai leírás alább olvasható.

[szerkesztés] Definíciók

[szerkesztés] Távolság(függvény)

Metrikus tér egy olyan $(X, d)$ pár, ahol $X$ tetszőleges halmaz, $d: X^{2} \to \mathbb{R} ^{+}_{0}$ pedig olyan nemnegatív valós szám értékű függvény, melyre tetszőleges $x,y,z \in X$ esetén:

d(x,y) = 0 ⇔ x=y; (egyenlőségi tulajdonság);
d(x,y) = d(y,x); (szimmetria);
d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z); (háromszög-egyenlőtlenség)

Ha (X,d) metrikus tér, X elemeit pontoknak, a d(x,y) függvényt az X feletti metrikának vagy távolságfüggvénynek szokás nevezni. Az X részhalmazait, vagyis pontok tetszőleges halmazát, alakzatnak is nevezzük. Tehát a távolság ne legyen negatív, épp az egybeeső pontok távolsága legyen nulla, oda-vissza ugyanaz legyen, és két pont közt legfeljebb akkora távolságot mérjünk, mintha még egy pontot közbeiktatnánk.

[szerkesztés] Topológiai fogalmak

A metrikus tér fogalmának segítségével a valós számegyenesen vagy számsíkon értelmezett geometriai és topológiai fogalmak hasznos általánosításait lehet értelmezni (környezet, konvergencia, sűrűségfogalmak stb.). Ezek egyben legfontosabb és szemléletes mintái az általánosabb és igen absztrakt topológiai fogalmaknak.

Ha $x\in X$ , $\varepsilon > 0$ , akkor a

$B_\varepsilon(x)=\{y\in X:d(x,y)<\varepsilon\}$

halmazt, azaz azon pontok halmazát, melyek az x-től legfeljebb ε távolságra vannak, az x körüli, ε sugarú nyílt gömbnek nevezzük.

A $G\subseteq X$ halmaz nyílt, ha minden $x\in G$ elemre van olyan $B_\varepsilon(x)$ gömb, amire $B_\varepsilon(x)\subseteq G$ . A nyílt halmazok rendszere az X halmazon topologikus teret alkot, ami beláthatóan Hausdorff-tér.
Az halmaz zárt, ha komplementere nyílt (vagy ami ugyanaz, ha a konvergens pontsorozatok nem vezetnek belőle ki: határpontjuk is a halmazba eső pont).
- Megjegyezzük, hogy egyes halmazok lehetnek nyíltak is meg zártak is (tehát nyíltság és zártság furcsamód nem ellentétes fogalmak).

Az $x_0,x_1,\dots$ sorozat x-hez konvergál, ha $d(x_n,x)\to 0$ .
Ha $(X 0, d 0)$ és $(X 1, d 1)$ metrikus terek, akkor az $f:X_0\to X_1$ függvény izometrikus (távolságtartó), ha $d 1 (f (x), f (y)) = d 0 (x, y)$ teljesül minden $x,y\in X_0$ esetén. Ekkor f homeomorfizmus, de ez fordítva nem igaz.

[szerkesztés] Teljes metrikus terek

Az (X,d) metrikus tér teljes, ha minden Cauchy-konvergens sorozat konvergens, azaz, ha az $x_0,x_1,\dots$ sorozat olyan, hogy $d(x_n,x_m)\to 0$ ha n és m mindketten végtelenhez tartanak, akkor van olyan $x\in X$ pont, hogy $x_n\to x$ . Minden metrikus tér izometrikusan beágyazható egy teljes metrikus térbe, és van olyan is, amiben a beágyazott tér képe sűrű.

Egy (X,d) metrikus tér lengyel tér, ha szeparábilis és teljes.

[szerkesztés] Példák

Rengetegféle (sokszorosan végtelen sok) példát említhetünk, néhányuk:

[szerkesztés] A diszkrét metrikus tér

Tetszőlegesen X halmaz metrikus térré tehető a diszkrét metrika segítségével, melyet a következőképp értelmezünk:

$\delta \left( x,y \right) = \left\{ \begin{matrix} 0,\quad\,\ &&\mbox{ha }x=y; \ \\ 1,\quad\, &&\mbox{ha }x \ne y. \ \\ \end{matrix} \right.$

Az (X, δ) párt az X halmaz feletti diszkrét metrikus térnek nevezzük. E terek matematikai alkalmazására több értelmes példát is lehet találni, az egyik ilyen pl., ha X egy n+1 pontból álló olyan ponthalmaz az n-dimenziós euklideszi térben, melyre igaz, hogy bármely két (különböző) pont euklideszi távolsága 1. Ilyen ponthalmazok, melyeket az n-dimenziós tér szimplexeinek nevezünk, mindig léteznek (n=1-re, 2-re, 3-ra a szimplexek rendre: az 1 hosszú szakasz két végpontjából; a szabályos háromszögek csúcsaiból, illetve szabályos tetraéder csúcsaiból álló ponthalmazok).

[szerkesztés] Euklideszi terek

A hagyományos euklideszi sík- és térgeometria pontjai modellezhetőek valós számok rendezett n-eseivel, azaz n-dimenziós vektorokkal. Pl. a sík egy pontja megadható egy P=(x,y) számpárral, a tér egy pontja egy P=(x,y,z) számhármassal. Általában akárhány n-dimenziós térben is a pontok megadhatóak $P = \left( p_{1} , p_{2} , ... , p_{n} \right)$ szám-n-essel ( $n \in \mathbb{N}, \forall i \in \left\{ 1,2,...,n \right\}: p_{i} \in \mathbb{R}$ ). A $p i$ számot a pont i-edik koordinátájának nevezzük. A valós szám-n-esek halmazát $R n$ -nel jelölve, értelmezhető a következő $d n$ -nel jelölt metrika:

$d_{n} \left( P, Q \right) := \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}{\left( p_{i} - q_{i} \right)^{2} } }$

Ez tehát – röviden szólva – a koordinátakülönbség-négyzetek összegének a gyöke. Az $\left( \mathbb{R}^{n} , d_{n} \right)$ párt n-dimenziós euklideszi térnek nevezzük. Egyébként e metrikák definíciója és magyarázata a Pithagorasz-tételen alapul; hogy tényleg metrika, azaz tényleg teljesíti a háromszög-egyenlőtlenséget, azt a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség mondja ki.

Például az euklideszi síkot Descartes-módra koordinátázva a P(2,3) és Q(4,-1) pontok távolsága $d_{2} \left( P, Q \right) = \sqrt{(2-4)^{2}+(3-(-1))^{2}} = \sqrt{(-2)^{2}+4^{2}} = \sqrt{20}$ hosszegységnyi.

[szerkesztés] Hölder-terek

Az euklideszi terek általánosításai a "diszkrét dimenziós" Hölder-terek (ide sorolhatóak még az ún. valós vagy diszkrét dimenziós Csebisev-terek is), melyek esetén a metrikában négyzetgyök helyett "p-edik gyök" ( $p \in \mathbb{R}^{+})$ , azaz $\frac{1}{p}$ -edik hatvány szerepel; és a koordinátakülönbségeket nem a második, hanem a p-edik hatványra emeljük; de ez előtt még ezek az abszolútértékeit is képezzük.

[szerkesztés] A „Földgömb-tér”

Adott a háromdimenziós euklideszi térben egy gömb (pl. durva közelítéssel mondjuk a Föld). A gömbfelszínen mozogva általában (hacsak nem fúrunk alagutakat) nem használhatjuk az euklideszi távolságfogalmat; pl. egy óceánon hajózva valójában nem az euklideszi térbeli egyenesek mentén, hanem görbe vonalak mentén mozgunk, és ezért két pont között az euklideszi távolságnál jóval hosszabb utat teszünk meg. Belátható, hogy az euklideszi tér tetszőleges, a gömbfelszínen elhelyezkedő A,B pontja esetén, ha ezek euklideszi távolságát d(A,B) jelöli (ez az A,B közti egyenesszakasz hossza), akkor az A,B pontok közt a gömbfelszínen lévő utak közt a legrövidebb az A,B pontokon és a gömbközépponton átmenő síknak a gömbhéjjal való metszetének – mely egy kör lesz, az A,B pontok ún. főköre – mint körnek az A,B pontok közé eső rövidebb íve lesz. Egyszerű számolással adódik, hogy erre teljesül

$d_{g} \left( A,B \right) := r \cdot \frac{ \pi }{ 90 } \cdot arcsin \left( \frac {d \left( A,B \right) }{2 \pi} \right)$ ;

ahol d(A,B) a háromdimenziós euklideszi metrika. Az így értelmezett függvény is metrika a gömbfelszín pontjainak halmaza felett.

[szerkesztés] Folytonos függvények tere

(vagy folytonos Csebisev-tér): ha a<b valós számok, akkor jelölje C[a,b] az $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ függvények halmazát. Legyen

$d(f,g)=\max_{a\leq x\leq b} |f(x)-g(x)|$

ezt a metrikát a C[a,b] tér feletti Csebisev-metrikának, vagy maximummetrikának nevezzük. Szemben a „diszkrét dimenziós” Csebisev-térrel, mely két N-dimenziós vektor koordinátakülönbség-abszolútértékeinek maximumát veszi távolságként (N véges természetes szám vagy pedig a természetes számok halmazának számossága, alef-null), a fenti függvényeken értelmezett metrika olyan, mintha végtelen (kontinuum) dimenziós vektorokon értelmeznénk egy hasonló fogalmat; azonban a maximum létezéséhez szükséges, hogy a függvények folytonosak legyenek. Néha a maximum helyett szuprémumot is szoktunk írni.

További példákat a metrika szócikkben találhatsz.

[szerkesztés] Metrizálhatóság

Természetesen minden metrikus tér egyben topologikus tér, amit a metrika segítségével meghatározott nyílt halmazok írnak le. A topológia egyik, hosszú ideig nyitott problémája volt, hogy melyek azok a topologikus terek, amelyek topológiája metrikából származtatható. Ezt végül is a Bing–Nagata–Szmirnov-tétel válaszolta meg teljesen.

[szerkesztés] Általánosítások és változatok

Ha elhagyjuk az egyenlőségi tulajdonság „felét”, azaz azt a feltételt, hogy csak az egyenlő pontok távolsága lehet 0, azaz a d(x,y) = 0 ⇒ x=y feltételt, akkor pszeudometrikus térről beszélünk;
Ha elhagyjuk a szimmetria feltételét, azaz nem követeljük meg d(x,y) = d(y,x) -et; akkor kvázimetrikus térről beszélünk;
Az (X,d) metrikus tér ultrametrikus, ha a háromszög-egyenlőtlenség helyett az erősebb d(x,z) ≤ max(d(x,y),d(y,z)) teljesül.

[szerkesztés] Történet

A metrikák és metrikus terek elméletének alapjait a francia Maurice René Fréchet (1878 - 1973) fektette le egy 1903-as, mások szerint egy 1906-os cikkében (Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74.), az elméletet Hermann Minkowski, Riesz Frigyes, David Hilbert, Stefan Banach, Felix Hausdorff és egyéb neves matematikusok fejlesztették tovább.

A metrikus terek fontos és talán legismertebb és legjelentősebb matematikán kívüli alkalmazásukat a múlt század elején megszülető kvantummechanika elméletében nyerték. Nagy jelentőségük van a függvényanalízis, de a geometria különféle axiomatikus megalapozásai, elméletei terén is. A geometria Hilbert-féle axiómarendszerét George David Birkhoffnak sikerült egy sokkal kevesebb axiómát tartalmazó, elegánsabb metrikus szemléletű rendszerrel helyettesíteni, az ún. vonalzó-axióma bevezetésével.

Fréchet alapvető észrevétele az volt, hogy e távolságfogalom alapja lehet egy általános, valós számok sorozatain túli konvergenciafogalom felépítésének.

Néhány példa olyan problémakörökre, amelyek kimondva vagy kimondatlanul a metrikus terek ill. ilyen tereken belül definiált topológiai jellegű fogalmak és tételek alkalmazását kívánják, vagy ez utóbbiak a probléma kezelését, átláthatóságát jelentősen megnövelik és a megoldást könnyítik:

Az elmúlt századokban sokan úgy gondolták, hogy a folytonos függvények néhány ponttól eltekintve minden pontjukban differenciálhatóak, azaz az ilyen függvények görbéjének van olyan nagyítása, amelyben e pont körül már teljesen simának, egyenesnek látszanak. Végül kiderült, hogy ez nem így van. Sikerült olyan folytonos függvényeket konstruálni (elsőként 1830-ban Bernard Bolzanonak, 1860-70 között pedig több példát is Karl Theodor Wilhelm Weierstrassnak), amelyek nemhogy kevés ponttól eltekintve, hanem egyetlen pontban sem deriválhatóak. A folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata volt a metrikus terek elméletének alkalmazhatóságát létével bizonyító egyik első problémakör.
Ha bizonyos függvények nem is folytonosak, mindenesetre előállíthatóak folytonos függvények sorozatának határértékeként. A határértékképzés (mármint függvénysorozat határértékének képzése) kivezet a folytonos függvények köréből. A kérdés, hogy hova. Ezt René-Louis Bairenek sikerült megoldania; és ezzel a valós függvények egy viszonylag áttekinthető osztályzását adnia.
Weierstrass eredményénél nem kisebb meglepetést és gondot okozott, hogy Georg Cantornak sikerült bebizonyítania, egy négyzetnek és oldalának, vagy tetszőleges más szakasznak ugyanannyi pontja van. Eredményét saját maga is megdöbbenéssel, hitetlenkedéssel fogadta, annál is inkább, mivel a két ponthalmaz közti bijekció szemléletesen nem volt jól reprezentálható, elképzelhető. 1890-ben azonban Giuseppe Peano konstruált egy szemléletes görbét, amely áthalad egy négyzet minden pontján. Az egységnégyzet egyik oldalát így folytonosan és szürjektíven sikerült leképezni az egységnégyzet pontjaira. Folytonos görbe, amely betölti az egységnégyzetet? Ez a dimenzió-, tér- és görbefogalomról alkotott képzetek forradalmi változását hozta. Az Euler-féle poliédertételből kisarjadt matematikai tudományág, a topológia (amelynek a metrikus terek elmélete is része) ilyen problémák hatására nőtt az absztrakt és fizikai terek tudományává.

Jelenleg a metrikus terek alkalmazása igen elterjedt a fizikában. A kvantummechanika például matematikailag legnagyobbrészt a Hilbert-terek elmélete (utóbbi fogalmat Neumann János vezette be 1929-ben). A relativitáselméletnek és egyéb kozmológiai elméleteknek is egyik legfontosabb matematikai alapját jelentik.

[szerkesztés] Források

Többek között:

Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Bp., 1972. R.Sz. 42 112.
Walter Rudin: Bevezetés a matematikai analízisbe.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../m/e/t/Metrikus_t%C3%A9r.html"

Kategória: Topológia

We provide Linux to the World