Határérték

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematika területén a határérték (limesz) fogalmát használják egy függvény tulajdonságának a leírására, ahogy az argumentuma egyre közelebb kerül valamilyen véges értékhez vagy végtelenhez; vagy egy sorozat viselkedésének leírására, ahogy az indexe végtelenhez tart. A határérték fogalmát felhasználja a matematikai analízis a differenciálhányados és a folytonosság definíciójához. A latin limes szóból lim-ként rövidítik.

A „határérték” fogalmát általánosabban lehet megfogalmazni a topológia, illetve a kategóriaelmélet eszközeivel.

[szerkesztés] Sorozat határértéke

Fő szócikk: sorozat határértéke

Figyeljük meg a következő sorozatot: 1,79, 1,799, 1,7999,... Megállapíthatjuk, hogy a számok egyre „közelítenek” 1,8-hez, a sorozat határértékéhez.

Formálisan feltételezzük, hogy x₁, x₂, ... valós számokból álló sorozat. Azt mondjuk, hogy a valós A szám a sorozat határértéke, és azt így jelöljük

$\lim_{n \to \infty} x_n = A$

pontosan akkor, ha

minden ε>0 esetén létezik egy N(ε) (ε-tól függő) természetes szám, melyre n>N(ε) esetén |x_n - A| < ε.

Szemléletesen azt jelenti, hogy tetszőlegesen közel kerülhetek a határértékhez, amíg az |x_n - A| abszolút érték az x_n és A „távolságát” jelenti. Nem minden sorozatnak van határértéke; ha van konvergensnek nevezzük, különben divergensnek. Belátható, hogy egy sorozatnak csak egy határértéke lehet.

A sorozat és a függvény határértékének a fogalma szoros kapcsolatban áll egymással. Egyrészt a sorozat határértéke egy természetes számokon értelmezett függvény végtelenben vett határértéke. Másrészt egy f függvény határértéke x helyen, ha létezik, megegyezik az f(x_n) sorozat határértékével bármely olyan x_n sorozatra, amely a függvény értelmezési tartományából vesz fel értékeket, és a határértéke x.

[szerkesztés] Függvényhatárérték

Fő szócikk: függvény határértéke

[szerkesztés] Határérték véges pontban

Feltéve, hogy f(x) valós függvény és c valós szám. A:

$\lim_{x \to c}f(x) = A$

kifejezés azt jelenti, hogy f(x) értéke tetszőlegesen közel kerül az A-hoz, ha az x elég közel van c-hez. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy „az f(x) határértéke az x tart c esetén A”. Megjegyezzük, hogy ez akkor is igaz lehet, ha f(c) $\neq$ A, sőt az f(x) függvénynek nem muszáj értelmezve lennie a c pontban.

Két példa következik a fentiek illusztrálására.

Vizsgáljuk meg $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ határértékét, ha x tart 2-höz. Ebben az esetbe az f(x) definiált a 2 helyen, és egyenlő az ottani 0,4 értékével:

f(1,9)	f(1,99)	f(1,999)	f(2)	f(2,001)	f(2,01)	f(2,1)
0,4121	0,4012	0,4001	$\Rightarrow$ 0,4 $\Leftarrow$	0,3998	0,3988	0,3882

Ha x közelít 3-hoz, akkor f(x) közelít 0,3-hez, azaz $\lim_{x\to 3}f(x)=0,3$ . Ezekben az esetkeben, amikor $f(c) = \lim_{x\to c} f(x)$ , azt mondjuk, hogy f folytonos az x = c helyen.

De nem minden függvény folytonos. Legyen például a g függvény az alábbi módon értelmezett:

$g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{ha }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{ha }x=2. \end{matrix}\right.$

A g(x) határértéke x tart 2 esetén 0,4 (ahogy az f(x) esetén is), de $\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)$ ; g nem folytonos x = 2 helyen.

Ábra a formális definícióhoz (c helyett a szerepel az ábrán)

[szerkesztés] Formális definíció

Legyen az $f$ függvény, mely értelmezve van a $c$ egy nyílt környezetében (esetleg c-ben nem) és A egy valós szám. A

$\lim_{x \to c}f(x) = A$

jelölés azt jelenti, hogy minden $\varepsilon\ >0$ érték esetén van olyan $\delta\ >0$ , melyekre bármely $x$ esetén, ha $0<|x-c|< \delta\$ , akkor $| f (x)-A|< \varepsilon\$ .

Pontosabb formális definíció a konvergens sorozatok definíciójából adódik.

[szerkesztés] Függvényhatárérték a végtelenben

Van, amikor nem csak a véges helyen vett határértéket kell vizsgálnunk, hanem, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor x tart a pozitív vagy negatív végtelenhez.

Példaként vizsgáljuk az $f(x) = \frac{2x}{x + 1}$ függvényt.