Przestrzeń Hilberta
Z Wikipedii
Przestrzeń Hilberta to rzeczywista lub zespolona przestrzeń liniowa z iloczynem skalarnym (inaczej przestrzeń unitarna), zupełna w normie generowanej przez ten iloczyn.
Każda przestrzeń Hilberta jest więc w szczególności przestrzenią Banacha.
Spis treści |
[edytuj] Przykłady przestrzeni Hilberta
- zbiór liczb rzeczywistych z mnożeniem jako iloczynem skalarnym,
- zbiór wektorów na płaszczyźnie ze "zwykłym" iloczynem skalarnym,
- zbiór klas równoważności funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lesbegue'a (to znaczy takich funkcji f, że f jest całkowalna i f2 jest całkowalna) na zbiorze domkniętym z całką iloczynu funkcji jako iloczynem skalarnym. Dwie funkcje uważa się za równoważne, jeśli różnią się między sobą na zbiorze miary zero w sensie Lebesgue'a.
[edytuj] Rodzaje przestrzeni Hilberta
Przestrzenie Hilberta dzieli się na
- ośrodkowe czyli takie, które posiadają przeliczalny zbiór gęsty .
- nieośrodkowe
Własności przestrzeni Hilberta różnią się znacznie dla tych dwóch przypadków.
[edytuj] Wykorzystanie przestrzeni Hilberta
Przestrzenie Hilberta są podstawowym pojęciem analizy funkcjonalnej. Do matematyki wprowadził ją David Hilbert pod koniec XIX w.
Przestrzenie Hilberta to podstawowe narzędzie wykorzystywane w wielu dziedzinach fizyki, między innymi w mechanice kwantowej.