Hilbertruimte
Een Hilbertruimte is een begrip uit de wiskunde, meer precies de functionaalanalyse. Het is genoemd naar de Duitse wiskundige David Hilbert. Een Hilbertruimte is een reële of complexe vectorruimte die voorzien is van een inproduct (een positief definiete resp. hermitische kwadratische vorm) en met betrekking tot de daardoor gedefinieerde norm volledig (en dus een Banachruimte) is.
Niet alle Banachruimten zijn Hilbertruimten. Als een Banachruimte een Hilbertruimte is, kan men het inproduct van de Hilbertruimte op eenduidige wijze reconstrueren uit de normfunctie.
Inhoud |
[bewerk] Definitie
Een lineaire ruimte H heet een Hilbertruimte als op H een inproduct 
gedefinieerd is en H ten aanzien van de daardoor bepaalde norm: 
volledig is, d.w.z. dat elke Cauchyrij in H convergent is, dus een limiet in H heeft.
In deze context wordt een reële of complexe vectorruimte met een inproduct soms een prehilbertruimte genoemd. Een Hilbertruimte is dan een volledige prehilbertruimte.
[bewerk] Dimensie
Eindigdimensionale Hilbertruimten waren al uitgebreid bestudeerd voor de naam Hilbertruimte ter sprake kwam - dit is de studie van de gewone Euclidische meetkunde met afstand en loodrechte stand in n dimensies. Het interessante is nu juist, dat de begrippen afstand en loodrechte stand pefect hanteerbaar blijven in een oneindigdimensionale ruimte. Onder meer in de Fourieranalyse is het nuttig te kunnen spreken van orthogonale functies.
Als een Hilbertruimte topologisch separabel is, dan heeft ze een Schauderbasis. Dat is een stel onderling loodrechte eenheidsvectoren zodat iedere willekeurige vector op unieke wijze kan geschreven worden als (eventueel oneindige) lineaire combinatie ervan. Een Fourierreeks is een voorbeeld van zo'n oneindige lineaire combinatie.
Alle separabele Hilbertruimten over hetzelfde getallenlichaam en met dezelfde dimensie, zijn onderling equivalent. Dat wil zeggen dat er een omkeerbare lineaire isometrie bestaat. Om die reden wordt vaak, lichtjes onnauwkeurig, over "de" Hilbertruimte gesproken. Het gaat dan om de, op isometrie na unieke, oneindigdimensionale separabele Hilbertruimte over de complexe getallen.
[bewerk] Voorbeeld
De belangrijkste voorbeelden van Hilbertruimten zijn verzamelingen van kwadratisch integreerbare scalaire functieklassen op een maatruimte (in de zin van de Lebesgue-integraal). Het scalair product van twee dergelijke functieklassen wordt gevormd door de integraal van het product van de twee functies. Deze Hilbertruimte heet L2, of als men de maatruimte expliciet wil aangeven: L2(X) of L2(X,dμ). Voor de eigenschappen van L2 als Banachruimte, zie het artikel Lp-ruimte.
De oorspronkelijke ruimte die David Hilbert bestudeerde, was de verzameling l2 der kwadratisch sommeerbare oneindige rijen (a0,a1,a2,...), met als scalair product de reekssom van de termsgewijze producten. Dit is een bijzonder geval van hogergenoemde klasse voorbeelden door de verzameling der natuurlijke getallen uit te rusten met de telmaat.
[bewerk] Toepassing
De Fourieranalyse is elegant en eenvoudig te formuleren in termen van scalaire producten en Schauderbasissen. Hilbert bestudeerde deze ruimten aanvankelijk om de vergelijkingen van Maxwell beter te begrijpen. Achteraf bleken ze fundamenteel voor de opbouw van de kwantummechanica.
