힐베르트 공간
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힐베르트 공간 (- 空間 , Hilbert Space)
내적이 정의되어 있는 벡터 공간이, 내적 <a, b>로 정해지는 노름 
에 대해 완비성 공리(코시수열의 극한이 존재)를 만족할 때, 이 벡터공간을 힐베르트 공간(Hilbert space)라고 한다. 이에 대해, 단지 노름에 관해서만 완비성을 갖춘 공간은 바나흐 공간(Banach space)이라고 한다.
힐베르트 공간은 유클리드 공간을 일반화 시킨 것으로 볼 수 있다. 물리학, 그 중 특히 양자 역학에서 양자 역학계의 상태(state)들이 힐베르트 공간을 이루기 때문에 매우 중요하게 취급된다. 잘 알려진 예로 슈뢰딩거 방정식 (ψ1,ψ2)=∫(dV ψ1*ψ2) 의 파동함수 ψ(t,x)를 들 수 있다.
[편집] 예
실수열 a = {ai}i=1∞중에,
을 만족하는 수열 전체를 l 2로 표시한다. a + b = {ai + bi}, αa = {αai}로 벡터간의 연산과 스칼라배를 정의할 수 있고, 이 집합은 벡터공간이 된다. l 2에서, 내적 <a, b>를
로 정의하면, 는 완비성을 갖춘 노름이 된다. 따라서, l 2는 힐베르트 공간이다.
주어진 조건을 만족하는 복소수로 이루어진 수열의 집합도, 같은 방법으로 힐베르트 공간이 된다.
