משוואות מקסוול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משוואות מקסוול הן מערכת של משוואות המתארות את התופעות החשמליות והמגנטיות, ובכלל זה את התופעות הקשורות לאור. המשוואות קרויות על שמו של הפיזיקאי העיוני ג'יימס קלרק מקסוול, שניסח אותן לראשונה בשנת 1864. מקסוול איחד את התיאור של התופעות החשמליות והתופעות המגנטיות וכן הצביע על האפשרות של קיום גלים אלקטרומגנטיים, והציע שהאור הוא גל אלקטרומגנטי כזה.

[עריכה] משוואות מקסוול

את משוואות מקסוול אפשר לכתוב בהרבה צורות. בכתיב וקטורי, בצורה דיפרנציאלית במערכת יחידות הנקראת יחידות גאוסיניות הן נראות כך:

$\vec{\nabla}\cdot\vec{D}(\vec{r},t)=4\pi\rho(\vec{r},t)$

$\vec{\nabla}\times\vec{H} (\vec{r},t)-\frac{1} {c}\frac{\partial} {\partial t}\vec{D}(\vec{r},t)=\frac{4\pi} {c}\vec{J}(\vec{r},t)$

$\vec{\nabla}\times\vec{E}(\vec{r},t) + \frac1 c \frac{\partial} {\partial t} \vec{B}(\vec{r},t)=0$

$\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0$

$\ \vec{r}$ הוא וקטור המרחב, $\ t$ הוא הזמן, והאופרטור $\ \vec{\nabla}\equiv (\frac{\partial} {\partial x},\frac{\partial} {\partial y},\frac{\partial} {\partial z})$ נקרא נבּלה והוא גם וקטור.

$\ \vec{E}(\mathbf{r},t)$ הוא השדה החשמלי.

$\ \vec{B}(\mathbf{r},t)$ הוא שדה ההשראות המגנטית.

שניהם נקבעים על-פי קונפיגורציית המטענים והזרמים במרחב. אלו הם השדות הבסיסיים, כלומר שדות אלו מתארים את המצב האלקטרומגנטי.

$\vec{D}(\vec{r},t)$ נקרא וקטור ההעתקה.

$\vec{H}(\vec{r},t)$ נקרא השדה המגנטי.

שדות אלו מתארים את השפעת החומר על המצב האלקטרומגנטי.

$\ \rho(\vec{r},t)$ הוא שדה צפיפות המטען החשמלי

$\vec{J}(\vec{r},t)$ צפיפות הזרם החשמלי.

c הוא קבוע מהירות האור.

משוואות מקסוול מתארות קשרים שמתקיימים בין השדות $\vec{E},\vec{B},\vec{D},\vec{H},\vec{J}$ ו $\ \rho$ . כפי שניתן להתרשם יש יותר נעלמים ממשוואות, לכן צריך להוסיף עוד מספר משוואות כדי שאפשר יהיה להתחיל לעשות שימוש מועיל במשוואות מקסוול. המשוואות הנוספות הן משוואות המתארות את האופן שבו החומר מושפע מן השדות האלקטרומגנטיים והכוח שפועל על חלקיק טעון בשדה אלקטרומגנטי:

משוואות החומר

$\vec{D}(\vec{r},t)=\vec{E}(\vec{r},t)+4\pi\vec{P}(\vec{r},t)$

$\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{B}(\vec{r},t)-4\pi\vec{M}(\vec{r},t)$

כאן $\vec{P}$ הוא שדה הקיטוב של החומר ו $\vec{M}$ הוא שדה המגנטיזציה של החומר. אלו הן משוואות כלליות, ובדרך-כלל משתמשים במודל פיזיקלי ובהנחות מקלות כדי להשתמש במשוואות פשוטות ככל האפשר. בפרט בדרך-כלל מניחים קשרים לינאריים בין השדה החשמלי ושדה ההעתקה ובין האינדוקציה המגנטית והשדה המגנטי. כמו כן לפעמים ניתן להוסיף למשוואות החומר את חוק אוהם.

כוח לורנץ

$\vec{F}(\vec r,t)=q\left(\vec{E}(\vec r,t)+\frac{\vec v} c \times\vec{B}(\vec r,t) \right)$

הוא הכח הפועל על כל חלקיק טעון במטען $\ q$ שנמצא בנקודה $\ \vec{r},t$ במרחב זמן ונע במהירות $\ \vec v$

בעזרת משוואות מקסוול ניתן להסביר מגוון רב של תופעות טבע, בהן: התופעות החשמליות והמגנטיות שחלק מהן יפורטו בהמשך, אופטיקה גאומטרית (חוק סנל), התאבכות ועקיפה, תופעות הקשורות בקיטוב (משוואות פרנל, שבירה כפולה, פעילות אופטית ועוד). גם במכניקת הקוונטים עושים שימוש במשוואות מקסוול (בתיאור הסמי-קלאסי) כדי לחשב רוחב טבעי של קו ספקטרלי, למשל, ובאופן יותר כללי כדי לתאר את האינטראקציה בין אור וחומר.

קיימות תופעות אותן לא ניתן להסביר בתיאור הסמי-קלאסי, כמו למשל פליטה ספונטנית. לכן פותחה אלקטרודינמיקה קוונטית, הנותנת משמעות ברורה למושג פוטון. משוואות מקסוול מתקבלות כגבול של האלקטרודינמיקה הקוונטית עבור עצמת אור חזקה.

[עריכה] המשמעות הפיזיקלית של המשוואות

משוואות מקסוול מתארות חוקי טבע שהיו ידועים, לפחות בחלקם, לפני שמקסוול רשם את המשוואות. החוקים עליהם מקסוול ביסס את המשוואות הם:

חוק קולון
חוק ביו-סבר (Bio-Savart)
חוק פרדיי (Faraday)
אין מטענים מגנטיים

לאלו מקסוול הוסיף את משוואת הרציפות $\nabla\cdot\vec J(\vec r,t)=-\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}}$ , על פיה, שינויים במרחב בצפיפות הזרם יכולים לנבוע רק משינויים בזמן בצפיפות המטען. כדי לראות את הקשר בין משוואות מקסוול לחוקים אלו נסתכל על המשוואות בוואקום, כלומר, נרשום את משוואות החומר המתאימות לוואקום ונציב אותן במשוואות מקסוול. בוואקום, ביחידות גאוסיאניות, $\ \vec E=\vec D$ ו $\ \vec H=\vec B$ .

המשוואה הראשונה (בוואקום) $\nabla\cdot\vec{E}(\vec r,t)=4\pi\rho(\vec r,t)$ בצורתה האינטגרלית (כלומר אחרי שעושים אינטגרציה לשני אגפי המשוואה על איזשהו נפח) ידועה בשם חוק גאוס, ובצירוף כוח לורנץ מתקבל ממנה חוק קולון. משוואה זו אומרת שהמקור של השדה החשמלי הוא במטען החשמלי.