Maxwellsche Gleichungen

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Die vier maxwellschen Gleichungen beschreiben die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie die Wechselwirkung zwischen diesen beiden Feldern, die bei zeitabhängigen Feldern in Erscheinung tritt. Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik und der theoretischen Elektrotechnik und wurden in den Jahren 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. Im Wesentlichen fasste Maxwell die bis zu diesem Zeitpunkt entdeckten Gesetzmäßigkeiten

in einer vereinheitlichten Theorie zusammen und ergänzte sie um

den maxwellschen Verschiebungsstrom,

um Konsistenz mit der Kontinuitätsgleichung zu erhalten. Somit sind die maxwellschen Gleichungen ein Standardbeispiel für eine vereinheitlichte Theorie, die verschiedene Phänomene, hier magnetische und elektrische, in einer geschlossenen Form erklären kann.

Inhaltsverzeichnis

1 Übersicht
2 Erläuterungen
- 2.1 Skalare Felder
- 2.2 Vektorfelder
3 Maxwellgleichungen in Materie
4 Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen
5 Maxwell-Gleichungen bei Berücksichtigung von magnetischen Monopolen
6 Weblinks

[Bearbeiten] Übersicht

Für das Verständnis der folgenden Gleichungen sind Grundkenntnisse in Vektoranalysis erforderlich. Die maxwellschen Gleichungen lassen sich in differentieller und in integraler Form darstellen. Die Äquivalenz beider Formulierungen beruht auf dem Satz von Stokes und dem Satz von Gauß. Daneben gibt es eine elegante vierdimensionale Formulierung, die sogenannte kovariante Form (s. u.), die z.B. in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik verwendet wird.

**Maxwellsche Gleichungen in SI-Einheiten**
differentielle Form	verknüpfender Integralsatz	Integralform
Physikalischer Gauß'scher Satz: Das $\vec D$ -Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung (Ladungsdichte ρ) ist Quelle des elektrischen Feldes.	Gauß	Der (elektrische) Fluss durch die Oberfläche $\partial V$ eines Volumens V ist gleich der elektrischen Ladung in seinem Inneren.
$\mbox{div}\vec D=\rho$ oder $\vec\nabla\cdot\vec D=\rho$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial V} \vec D\;\cdot\mathrm{d}\vec A=\int_V\rho\;\mathrm{d}V$
Das $\vec B$ -Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole.	Gauß	Der magnetische Fluss durch die Oberfläche eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren, nämlich Null, da es keine magnetischen Monopole gibt.
$\mbox{div}\vec B=0$ oder $\vec\nabla\cdot\vec B=0$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial V} \vec B\;\cdot\mathrm{d}\vec A=0$
Induktionsgesetz: Jede Änderung des $\vec B$ -Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Induktion abhängig.	Stokes	Die (elektrische) Zirkulation über dem Rand $\partial A$ einer Fläche A ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche.Vorsicht die unten dargestellte Formel gilt nur bei zeitlich konstanter Fläche.
$\mbox{rot}\vec E+\frac{\partial\vec B}{\partial t}=0$ oder $\vec\nabla\times\vec E+\frac{\partial\vec B}{\partial t}=0$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial A}\vec E\;\cdot\mathrm{d}\vec s=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_A\vec B\;\cdot\mathrm{d}\vec A$
Verallgemeinertes Durchflutungsgesetz: Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der elektrischen Stromdichte $\vec J$ und von der Verschiebungsstromdichte ab.	Stokes	Die magnetische Zirkulation über dem Rand einer Fläche ist gleich der Summe aus dem Verschiebungsfluss und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche.
$\mbox{rot}\vec H-\frac{\partial\vec D}{\partial t}=\vec J$ oder $\vec\nabla\times\vec H-\frac{\partial\vec D}{\partial t}=\vec J$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial A}\vec H\;\cdot\mathrm{d}\vec s=\int_A\vec J\;\cdot\mathrm{d}\vec A+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\int_A\vec D\;\cdot\mathrm{d}\vec A$

Siehe auch: Differentielle und integrierte Form

[Bearbeiten] Erläuterungen

[Bearbeiten] Skalare Felder

Das Symbol ρ steht für die Ladungsdichte ohne Berücksichtigung von Beiträgen, die durch eine elektrische Polarisation eines evtl. vorhandenen Mediums entstehen.

[Bearbeiten] Vektorfelder

Die Stromdichte $\vec J$ gibt an, wieviel Strom pro Fläche in welche Richtung fließt. Dabei sind Beiträge nicht berücksichtigt, die durch Paramagnetismus und Diamagnetismus in einem evtl. vorhandenen Medium induziert werden.

$\vec D$ ist die elektrische Flussdichte, elektrische Verschiebungsdichte oder elektrische Erregung. Hierbei handelt es sich um die elektrische Feldstärke $\vec E$ ohne Berücksichtigung von Beiträgen durch die Polarisation des Mediums. Im Vakuum ist die elektrische Flussdichte bis auf einen Faktor, der nur durch das Einheitensystem bedingt ist, identisch mit der elektrischen Feldstärke.

Die magnetische Feldstärke oder magnetische Erregung $\vec H$ ist die magnetische Flussdichte oder Induktion $\vec B$ ohne Berücksichtigung von paramagnetischen und diamagnetischen Beiträgen durch das Medium. Im Vakuum sind die magnetische Flussdichte und die magnetische Feldstärke wiederum bis auf einen Faktor identisch, der nur durch das Einheitensystem bedingt ist.

Die Beziehungen zwischen der elektrischen Flussdichte und der elektrischen Feldstärke, der magnetischen Feldstärke und der magnetischen Flussdichte sowie der Stromdichte und der elektrischen Feldstärke werden durch die Materialgleichungen der Elektrodynamik beschrieben.

Die elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte sind die physikalischen Felder. Bei Anwesenheit eines Mediums sind die elektrische Flussdichte und die magnetische Feldstärke Hilfsgrößen, die die Berechnung der Felder vereinfachen, da der Beitrag des Mediums nicht von vornherein bekannt sein muss.

[Bearbeiten] Maxwellgleichungen in Materie

In isotroper Materie werden neue Felder für D und H eingeführt

$\vec D := \varepsilon \vec E = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec E = \varepsilon_0 \vec E + \vec P$

$\vec H := \frac{1}{\mu_0} \vec B - \vec M$ oder

$\vec B := \mu \vec H = \mu_0 \mu_r \vec H =\mu_0 (\vec H + \vec M)$

Diese unschöne Asymmetrie zeigt, warum Theoretiker Einheitensysteme bevorzugen, in denen die Maxwellgleichungen symmetrisch angeschrieben werden können. Die gebundenen P und M-Felder verschwinden außerhalb der Materie. In anisotroper Materie werden die Suszeptibilitäten zu Tensoren zweiter Stufe (3x3).

Die elektrische Polarisierbarkeit oder dielektrische Polarisation ist dann mit der elektrischen Suszeptibilität $\mathbf{\chi_e}$ [1], bzw. der relativen Permittivität $\mathbf{\varepsilon_r}$ [1] und der Vakuum-Permittivität (Dielektrizitätskonstante) $\varepsilon_0$ [F/m]:

$\vec P := \varepsilon_0 \cdot \mathbf{\chi_e} \cdot \vec E = \varepsilon_0 \cdot (\mathbf{\varepsilon_r}-1) \cdot \vec E$ , mit $\mathbf{\varepsilon_r}=1+\mathbf{\chi_e}$

Die magnetische Polarisierbarkeit oder Magnetisierung ist, mit der magnetischen Suszeptibilität $\mathbf{\chi_m}$ [1], bzw. der relativen Permeabilität $\mathbf{\mu_r}$ [1] und der Vakuum-Permeabilität (magnetische Feldkonstante) $μ 0$ [V·s/A·m]:

$\vec M := \mathbf{\chi_m} \cdot \vec H = (\mathbf{\mu_r} - 1) \cdot \vec H$ , mit $\mathbf{\mu_r}=1+\mathbf{\chi_m}$

Die (relative) Permeabilität $\mathbf{\mu_r}$ und die (relative) Permittivität $\mathbf{\varepsilon_r}$ beziehen das gesamte Feld auf die Vakuumfelder. Weiter ergibt sich die Definition der Brechzahl mit

$n:= \sqrt{\mathbf{\varepsilon_r \cdot \mu_r}}$ und der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum $c_0:= 1/ \sqrt{\varepsilon_0 \cdot \mu_0}$

was die Lichtgeschwindigkeit im Material mit den entsprechenden Konstanten in Verbindung bringt, so ist die Phasengeschwindigkeit im Medium

$c_p:=c_0 /\mathbf{n} = 1 / \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0 \cdot \mathbf{\varepsilon_r \mu_r}}$

und die Gruppengeschwindigkeit im Medium, bei frequenzunabhängiger Brechzahl (ohne Dispersion)

$c_g:=c_0 \cdot \mathbf{n} = \sqrt{\mathbf{\varepsilon_r \mu_r}/{\varepsilon_0 \mu_0}}$

[Bearbeiten] Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen

In diesem Absatz wird, wie im übrigen Artikel, das SI-Einheitensystem verwendet. Dieses und die damit verbundenen Faktoren $μ 0$ , $\varepsilon_0$ etc. empfinden viele Theoretiker gerade bei der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik als unnatürlich und verwenden andere Systeme, etwa Gauß-Einheiten oder Heaviside-Lorentz-Einheiten, in denen die Grundgrößen der Elektrodynamik anders definiert werden. In der Literatur können deshalb verglichen mit dieser Darstellung Vorfaktoren wegfallen, hinzukommen oder an andere Stellen rücken.

Die Elektrodynamik, wie sie durch die Maxwellgleichungen beschrieben wird, ist verträglich mit der speziellen Relativitätstheorie. Dazu gehört, dass die Maxwellgleichungen in jedem Inertialsystem gelten, ohne dass sich beim Wechsel des Bezugssystems ihre Form ändert. Dies spielte historisch für die Entwicklung der Relativitätstheorie durch Albert Einstein eine wichtige Rolle.

Technischer formuliert sind die Maxwellgleichungen relativistisch kovariant oder forminvariant, das heißt, dass sie ihre Gestalt unter Lorentz-Transformationen nicht ändern.

Diese Eigenschaft ist den Maxwellgleichungen in der oben beschriebenen Form jedoch nicht ohne weiteres anzusehen. Es kann deshalb nützlich sein, durch eine Umformulierung der Theorie die Forminvarianz herauszuarbeiten, anders ausgedrückt: die Theorie „manifest kovariant“ zu schreiben.

Hierzu muss man die oben auftretenden Größen $\vec{E}$ , $\vec{B}$ usw. durch Größen ausdrücken, die ein klar definiertes, einfaches Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen haben, also durch Lorentz-Skalare, Vierervektoren und Vierer-Tensoren höherer Stufen.

Ausgangspunkt für diese Umformulierung bilden die elektromagnetischen Potentiale $φ$ (skalares Potential) und $\vec{A}$ (Vektorpotential), aus denen man die elektrischen und magnetischen Felder wie folgt erhält (siehe auch Elektrodynamik):

$\vec{E} = -\vec{\nabla} \phi - \partial_t \vec{A}$
$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$

Diese Größen lassen sich zu einem Vierervektor, dem Viererpotenzial

$A^\mu = \left(\frac{\phi}{c}, \vec{A} \right)$

zusammenfassen. Ebenso kann man aus Ladungsdichte $ρ$ und Stromdichte $\vec{J}$ die Viererstromdichte zusammensetzen:

$j^\mu = (c \rho, \vec{J})$

Aus dem Vierpotential wird der elektrodynamische Feldstärketensor abgeleitet, dessen Komponenten bis auf Vorzeichen und konstante Vorfaktoren, die vom Einheitensystem abhängen, gerade die der elektrischen und magnetischen Felder sind:

$F^{\alpha\beta} = \partial^\alpha A^\beta - \partial^\beta A^\alpha = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \\ \end{pmatrix}$

Wobei das kontravariante Differenzieren so funktioniert:

$\partial^\alpha=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right)$

Mit diesen Größen geschrieben kann man die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen im Vakuum durch folgende kovariante Gleichung ersetzen:

$\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} = \mu_0 j^{\beta}$

Dabei wird, wie üblich, die Einsteinsche Summenkonvention benutzt, das heißt, über doppelt auftretende Indizes in Produkten (hier $α$ ) wird summiert.

Man beachte, dass wegen der Antisymmetrie des Feldstärketensors auch die Kontinuitätsgleichung (Verschwinden der 4er-Divergenz) folgt:

$c \partial_t \rho + \mbox{div} \vec{J} = \mu_0 \partial_{\beta} j^{\beta} = \partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\alpha\beta} = - \partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\beta\alpha} = - \partial_{\beta} \partial_{\alpha} F^{\beta\alpha} = 0$

Die beiden homogenen Maxwellgleichungen erhalten im Vakuum die manifest kovariante Form

$\partial_\alpha F_{\beta\gamma} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha\beta} = 0$

Dies wird auch häufig mit dem Levi-Civita-Symbol kompakter geschrieben als

$\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \partial_\alpha F_{\gamma\delta} = 0$

oder

$\partial_\alpha \mathcal{F}^{\alpha\beta} = 0$

mit dem dualen Feldstärketensor

$\mathcal{F}^{\alpha\beta} = \frac{1}{2} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} F_{\gamma\delta},$

dessen Komponenten man auch aus denen von $F αβ$ erhalten kann, indem man $\vec{E}/c$ durch $\vec{B}$ und $\vec{B}$ durch $-\vec{E}/c$ ersetzt. Also:

$\mathcal{F}^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} 0 & -B_x & -B_y & -B_z \\ B_x & 0 & \frac{E_z}{c} & -\frac{E_y}{c} \\ B_y & -\frac{E_z}{c} & 0 & \frac{E_x}{c} \\ B_z & \frac{E_y}{c} & -\frac{E_x}{c} & 0 \\ \end{pmatrix}$

[Bearbeiten] Maxwell-Gleichungen bei Berücksichtigung von magnetischen Monopolen

Magnetische Monopole treten in einigen GUT-Theorien als mögliche oder notwendige Bestandteile auf. Mit ihnen ließe sich die Quantelung der elektrischen Ladung erklären, wie Paul Dirac schon 1931 erkannte. Bislang ist allerdings kein magnetischer Monopol beobachtet worden. Daher wird in den oben genannten Maxwell-Gleichungen auch angenommen, dass keine magnetischen Monopole (magnetische Ladungen) existieren.

Sollten in der Zukunft dennoch solche magnetischen Ladungen gefunden werden, so lassen sich diese in den Maxwell-Gleichungen problemlos berücksichtigen: Wenn mit $ρ m$ die Monopolladungsdichte und mit $\vec{J}_m=\rho_m \vec{v}_m$ die Stromdichte, der sich mit $\vec{v}_m$ bewegenden magnetischen Monopolladungen, bezeichnet wird, dann ändern sich nur zwei der vier oben genannten Gleichungen.

In differentieller (lokaler) Form ergibt sich dann für diese Gleichungen:

$\mbox{div}\vec{B}=\rho_m$ (Interpretation: Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte beginnen und enden in einer magnetischen Ladung.)

$\mbox{rot}\vec{E}=-\left(\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}+\vec{J}_m\right)$ (Interpretation: Sich zeitlich ändernde magnetische Flussdichten oder das Vorhandensein von magnetischen Stromdichten führen zu elektrischen Wirbelfeldern.)

Die anderen beiden differentiellen Gleichungen bleiben unverändert, während sich aber natürlich für die beiden neuen Gleichungen auch neue integrale (d.h. globalen) Darstellungen ergeben, die dann aber ohne weiteres mit den Integralsätzen von Gauß und Stokes berechnet werden können.

Der Fall der verschwindenden Monopole $ρ m = 0$ führt wieder auf die bekannten, oben angegebenen Gleichungen zurück.