Quadrilatère
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Vous avez de En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.
Quelques quadrilatères particuliers :
Exemple de quadrilatère quelconque
Sommaire |
[modifier] Typologie des quadrilatères
Les quadrilatères quelconques offrent relativement peu d'intérêt mais permettent de voir ce qui se cache derrière les définitions des quadrilatères particuliers bien connus ( trapèzes, parallélogramme, rectangle, losange, carré, ... )
[modifier] Classement par convexité
Un quadrilatère peut être :
- convexe, si tout segment joignant deux points du quadrilatère reste toujours à l'intérieur du quadrilatère;
- concave, si ce n'est pas le cas, mais que les côtés ne se croisent pas; on dit souvent « non-convexe » au lieu de « concave »;
- croisé, si deux de ses côtés se croisent.
La plupart des quadrilatères particuliers sont convexes. En pratique, un quadrilatère convexe est un quadrilatère dont on peut faire le tour avec une ficelle tendue sans quitter les côtés ( dans l'image ci-dessus, le pointillé sur le second quadrilatère représente la ficelle ).
La première chose à savoir sur les quadrilatères quelconques, c'est que, contrairement aux triangles, la donnée de leurs sommets ne suffit pas à les définir.
En effet, considérons quatre points A, B, C et D ( non alignés pour éviter certains problèmes ). Ces quatre points peuvent être les extrémités de 6 segments distincts, AB, AC, AD, BC, BD et CD. Ces segments peuvent être assemblés pour former trois quadrilatères distincts ( et trois seulement ) :
- AB + BC + CD + DA
- AB + BD + DC + CA
- AC + CB + BD + DA
Les quatre segments utilisés par le quadrilatère sont ses côtés ; les deux autres segments sont ses diagonales.
Deux situations doivent être distinguées :
- si l'un des points est à l'intérieur du triangle formé par les trois autres points :
- les trois quadrilatères obtenus sont concaves ;
- sinon, on obtient un quadrilatère convexe et deux croisés.
Donc, si la donnée de quatre points ne suffit pas à définir un quadrilatère quelconque, elle suffit par contre à définir un quadrilatère convexe.
[modifier] Autres classements
Quand on cherche à classer les quadrilatères en leur imposant des propriétés particulières, on obtient par exemple
- les quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires
- L'aire de tous ces quadrilatères est D*d/2. Cette catégorie ne présente pas de régularité d'aspect. Seul le dernier dessin évoque un objet régulier - un cerf-volant, voire un losange.
- les quadrilatères dont les côtés sont égaux deux à deux.
- On n'obtient pas toujours un parallélogramme. Si les côtés égaux sont consécutifs, on retombe sur le cerf-volant. Si le quadrilatère n'est pas convexe, on peut obtenir un quadrilatère croisé.
- les quadrilatères dont les côtés sont parallèles
- on retrouve là deux classes intéressantes de quadrilatères : les trapèzes et les parallélogrammes
- enfin, les parallélogrammes particuliers nous redonnent les classes des rectangles (parallèlogrammes à angles droits), des losanges(parallèlogrammes à côtés adjacents égaux) et des carrés (à la fois rectangles et losanges)
[modifier] Propriétés générales des quadrilatères
La somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut 360°. Mais cela n'est pas vrai pour un quadrilatère croisé.
L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment.
