Losange
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Vous avez de Un losange est un quadrilatère (polygone à 4 côtés) particulier : c'est un parallélogramme ayant les côtés de même longueur.
Par conséquence, ses côtés sont parallèles deux à deux, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Autres définitions moins redondantes et équivalentes :
- quadrilatère convexe à quatre côtés de même longueur.
- quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
Un carré est un losange particulier (ses angles sont droits).
[modifier] Preuve: Les diagonales sont perpendiculaires
Choisir A, B, C et D de manière à ce qu'ils soient les coins du losange comme le suggère la figure ci-dessus (avec AC et BD comme diagonales). Utilisant AB pour représenter le vecteur de A à B, il suit que
AC = AB + BC
BD = BC + CD = BC − AB.
La dernière égalitée provenant du parallélisme de AB et de CD. En prenant le produit scalaire de AB et de BD,
< AC,BD > = < AB + BC,BC − AB > = < AB,BC > − < AB,AB > + < BC,BC > − < BC,AB > = 0
puisque les normes de AB et de BC sont égales et puisque le produit scalaire est bilinéaire et symmétrique. Le produit scalaire des diagonales est nul si et seulement si elles sont perpendiculaires. ■
[modifier] Aire
Si a et b sont les longueurs des diagonales, alors l'aire du losange est :
en effet, les diagonales définissent quatre triangles rectangles qu'il suffit de réagencer pour avoir un rectangle dont les côtés sont a/2 et b (par exemple) ; on applique alors la formule donnant l'aire du rectangle.
Un rhomboèdre est un polyèdre dont les six faces sont des losanges.
