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La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né de la volonté d'une formulation mathématique adaptée à la mécanique classique. Elle est à la frontière de la géométrie différentielle et des systèmes dynamiques.

Elle est l'étude des "2-formes différentielles fermées non dégénérées sur les variétés différentielles", appelées formes symplectiques.

Les variétés différentielles sont l'objet d'étude de la géométrie différentielle. De manière informelle, ce sont des espaces de travail sur lesquels localement tout se passe comme sur l'espace vectoriel Rⁿ : ces objets se construisent par recollement d'ouverts de Rⁿ. Tout enfant apprend à dessiner sur une feuille de papier un patron, à la découper, plier, et coller comme il faut pour former un cube, un tétraèdre, un cône. C'est exactement ce même type de construction dont il est question ici (en plus subtil, bien sûr).

La compréhension et la vulgarisation de la géométrie symplectique pour commencer se heurtent à deux difficultés :

• Première difficulté, la géométrie symplectique n'est pas visuelle. Pour des raisons relevant de l'algèbre linéaire, les formes symplectiques n'existent que sur les variétés différentielles de dimension paire. Cependant la seule dimension paire que les non-mathématiciens peuvent se représenter est la dimension 2. Mais l'étude des surfaces ne reflète pas les subtilités de la géométrie symplectique, à l'instar des sous-variétés lagrangiennes ou du théorème du non-plongement de Gromov. La géométrie symplectique prend tout son sens seulement à partir de la dimension 4.
• Seconde difficulté, la question de l'existence des structures est encore ouverte aujourd'hui, du moins pour les variétés différentielles compactes. C'est pour dire que personne ne comprend à ce jour les contraintes impliquées par la présence de formes symplectiques. Tout au plus sait-on énoncer des conditions nécessaires (dimension, orientabilité, et conditions dites "homologiques"). En pratique, dans les applications, les variétés étudiées sont naturellement munies de formes symplectiques.

Sommaire 1 Définition de la géométrie symplectique 1.1 La géométrie symplectique linéaire 1.2 La géométrie symplectique linéaire 1.3 Géométrie symplectique 1.4 Les sous-variétés lagrangiennes 1.5 Le chameau symplectique 2 Origine 2.1 Genèse de la mécanique hamiltonienne 2.2 Histoire de la géométrie symplectique 2.3 Etymologie, Histoire de la terminologie 3 Questions ouvertes 3.1 Topologie globale 4 Pour aller plus loin 4.1 Liens internes 4.2 Liens externes 4.3 Publications spécialisées 4.4 Ouvrage de mathématiques pour physiciens 5 Le problème des fondements des mathématiques 5.1 Le logicisme 5.2 Le formalisme 5.3 L'intuitionnisme 6 Les fondements de la géométrie 7 Les fondements de l’analyse et la théorie des ensembles 8 Le programme de Hilbert 9 La méthode formelle 10 Les théories des ensembles 11 Références

[modifier] Définition de la géométrie symplectique

[modifier] La géométrie symplectique linéaire

La présentation de la géométrie symplectique donnée dans ce paragraphe ne se veut pas historique. Ce choix est volontaire, afin de rendre l'exposé des idées accessible au plus grand nombre d'internautes. Elle donne un entr'aperçu des trois résultats fondamentaux de la géométrie symplectique : le théorème de Darboux, le théorème de Weinstein, et le théorème de non-plongement de Gromov.

[modifier] La géométrie symplectique linéaire

Suivant le programme d'Erlangen, toute géométrie devrait se comprendre à travers l'action d'un groupe sur un ensemble. Dit autrement, tous les objets géométriques pourraient être définis comme des invariants par une action de groupe.

• La géométrie affine est l'étude d'un espace affine réel E. Le groupe naturellement associé GL(E) est le groupe des isomorphismes affines (translations, réflexions, rotations, dilatations, ...). La droite passant par deux points A et B est l'ensemble des points fixés par tous les éléments du groupe GL(E) fixant les points A et B. Mathématiquement parlant, ces éléments forment un sous-groupe H de GL(E), appelé groupe d'isotropie de (A,B) pour l'action diagonale de GL(E) sur . Toute construction géométrique ne peut s'effectuer que par intersection de droites uniquement. De plus, tous les triangles (trois points non alignés) sont semblables,

• La géométrie euclidienne est l'étude des espaces vectoriels euclidiens (E, < | > ). Le groupe associé Isom(E) est le groupe des isométries linéaires sur l'espace affine euclidien. La distance euclidienne est l'unique invariant pour l'action diagonale de Isom(E) sur E². La distance euclidienne y joue donc un rôle prédominant. Deux triangles sont semblables ssi ils ont les mêmes longueur de côté.

La géométrie symplectique linéaire apparaît comme une géométrie intermédiaire, dans laquelle on perd la notion de distance, pourtant si familière à la vie quotidienne. Pour autant on conserve une notion d'aire orientée.

• La géométrie du volume (euclidien) sur Rⁿ est l'étude des volumes des ouverts relativement compacts. Le groupe associé SL_n(R) est le groupe des isomorphismes affine préservant le volume, le groupe des isomorphismes affines de déterminant 1. C'est le groupe spécial linéaire. En dimension 2, deux triangles sont équivalents ssi ils ont la même aire. En dimension supérieur, ce n'est qu'un simple exercice que de constater que tous les triangles sont équivalents.

Le cas de la dimension 2 est exceptionnel, donc source de questionnement. L'aire orientée d'un tringle ABC s'écrit:

aire(ABC) = ω₀(AB,AC) = X₁Y₂ − X₂Y₁ où AB = (X₁,X₂) et AC = (Y₁,Y₂)

L'application joue un rôle central. C'est une application bilinéaire (linéaire en chaque composante) et antisymétrique :

ω₀(AB,AC) = aire(ABC) = − aire(ACB) = − ω₀(AC,AB)

L'application ω₀ est une forme antisymétrique sur R². Elle est non dégénérée au sens où pour tout vecteur u il existe un vecteur v (ici, n'importe quel vecteur non colinéaire) tel que . En dimension supérieure, on est en droit de considérer l'application . Il s'agit encore d'une forme antisymétrique non dégénérée.

Plus généralement l'existence d'une forme antisymétrique non dégénérée ω sur un espace vectoriel réel E implique que la dimension de E soit paire. Mais on ne gagne rien de plus. Un théorème élémentaire d'algèbre linéaire affirme que deux espaces vectoriels symplectiques de même dimension s'identifient.

• La géométrie symplectique linéaire est l'étude de la forme symplectique ω₀ sur R²ⁿ. Le groupe associé est le groupe Sp(n) des isomorphismes affines de R²ⁿ préservant la forme symplectique ω₀. De tels isomorphismes sont appelés isomorphismes symplectiques linéaires, et le groupe Sp(n) le groupe symplectique linéaire. L'aire symplectique d'un tringle {A,B,C} est ω(AB,AC). Deux triangles sont équivalents ssi ils ont la même aire symplectique.

[modifier] Géométrie symplectique

La géométrie symplectique est à la géométrie symplectique linéaire ce que la géométrie riemannienne est à la géométrie euclidienne.

Son objet d'études est les 2-formes différentielles fermées non dégénérées. Une telle forme différentielle est appelée forme symplectique. En clair, sur une variété différentielle M, on se donne une forme antilinéaire non dégénérée ω_x, et on demande à ce que la collection ait une régularité en x. L'application est un exemple de 2-forme différentielle, qu'on exige fermée : tous champs de vecteurs X, Y, et Z vérifient :

Une variété munie d'une forme symplectique est appelée variété symplectique. Une fois les objets d'étude définis, on a coutume de s'intéresser aux relations qu'ils peuvent entretenir entre eux. Un difféomorphisme s'appelle difféomorphisme symplectique lorsque f préservent les formes symplectiques ω. De manière plus explicite, la différentielle est un isomorphisme linéaire symplectique. L'internaute mal à l'aise avec la géométrie différentielle comprendra les choses ainsi : au premier ordre, f est un isomorphisme symplectique linéaire.

L'ensemble des difféomorphismes symplectiques de (M,ω) forment un groupe, appelé groupe des difféomorphismes symplectiques, et noté Symp(M,ω). Son étude a un intérêt de premier plan.

L'un des principaux résultats élémentaires de la géométrie symplectique est le théorème de Darboux : localement, deux variétés symplectiques de même dimension sont isomorphes. Dit autrement, aucun invariant local n'existe. Sur ce point, et pas le moindre, la géométrie symplectique s'oppose complètement à la géométrie riemannienne :

• En géométrie riemannienne, l'existence d'invariants de classe C^2 se traduit par un groupe d'isométries de dimension finie et une quantité infinie de classes d'équivalence de métriques riemanniennes.
• En géométrie symplectique, l'inexistence d'invariants locaux au contraire donne un groupe de dimension infinie de difféomorphismes symplectiques et un ensemble "discret" de classes d'équivalence de formes symplectiques.

Cette dichotomie résume bien l'opposition entre la souplesse de la géométrie riemannienne contre la rigidité de la géométrie symplectique. Cette rigidité se retrouve à bien d'autres niveaux (rigidité des symplectomorphismes, théorème de rigidité de Gromov, ...).

[modifier] Les sous-variétés lagrangiennes

En géométrie symplectique linéaire, un vecteur x d'un espace vectoriel symplectique (E,ω) vérifie l'identité :

ω(x,x) = 0

Un espace isotrope est un sous-espace vectoriel F, vérifiant, pour tous couples de vecteurs x et y de F :

ω(x,y) = 0

En dimension 2, toute droite vectorielle est un sous-espace isotrope. Un espace isotrope est de dimension . Les espaces isotropes de dimesnion n sont les sous-espaces lagrangiens.

En géométrie symplectique, un rôle central est joué par les sous-variétés lagrangiennes. Une sous-variété lagrangienne est une sous-variété dont les espaces tangents sont des sous-espaces vectoriels lagrangiens. Au premier ordre, les sous-variétés lagrangiennes sont des sous-espaces lagrangiens.

Le théorème de Weinstein caractérise la géométrie semi-locale des sous-variétés lagrangiennes. Un voisinage suffisamment petit de L ne dépend pas de la variété M ni de la forme symplectique, seulement de la variété L

Le théorème de Weinstein est une extension du théorème du voisinage tubulaire de la topologie différentielle à la topologie symplectique.

Le théorème de Weinstein est un résultat comparable au théorème de Darboux.

(...)

[modifier] Le chameau symplectique

Une boule euclidienne D^k peut être déformée en un ellipsoïde inclus dans , par une déformation préservant le volume.

En dimension 2, une telle déformation est symplectique.

En dimension supérieure, il est impossible de plonger le disque D²ⁿ dans pour tout ε < 1.

résultat de rigidité des plus étonnants,

Théorème de non-plongement de Gromov

conduit à la notion de capacité symplectique. Invariants globaux de la géométrie symplectique.

chameau symplectique

capacité symplectique : liens avec les propriétés dynamiques...

"Il est plus facile à un chameau de rentrer par le trou d'une aiguille qu'au riche d'entrer au royaume des cieux." Évangile selon Saint-Luc

[modifier] Origine

La géométrie symplectique est née de la formalisation hamiltonienne des lois de la mécanique classique. Cette formulation est née par la somme successive des travaux de Newton, de Lagrange, et de Hamilton, du XVII^e au XIX^e. Mais ce n'est que dans les années 1960 que les outils de la géométrie symplectique ont pu être formalisés, sous l'impulsion de Vladimir Arnold, et avec la participation active de Mikhael Gromov et Jean-Marie Souriau.

[modifier] Genèse de la mécanique hamiltonienne

En 1666, Newton révolutionne simultanément la physique et les mathématiques en énonçant la loi d'attraction universelle. Cette loi permet de décrire le mouvement relative d'une planète autour de son étoile. Encore aujourd'hui, malgré l'avènement de la relativité générale, cette loi est toujours utilisée aujourd'hui dans la détection des exoplanètes. Une planète, à l'instar de la Terre, subit la force attractive du Soleil, et son évolution est décrite par l'équation différentielle :

Le problème du mouvement relatif de deux corps en interaction mututelle est devenu un exercice classique incontournable du premier cycle universitaire. Newton lui-même en a donné une solution correcte dans les propositions 57 à 65 de ses Principia. La planète décrit par rapport à l'étoile un mouvement elliptique dont l'étoile est l'un des foyers. Six constantes sont nécessaires pour décrire ce mouvement :

• deux constantes t,u pour paramétrer le plan dans lequel le mouvement s'effectue.
• deux constantes v,w pour décrire la position du second foyer dans ce plan.
• une constante e, appelée l'escentricité, pour décrire l'ellipse.
• et une constante θ pour décrire la position initiale de la planète.

Toutefois, cette description oublie la présence d'autres planètes. Le problème à corps est hautement plus ardu. Il résiste encore aujourd'hui à trois siècles d'histoire. Aucune solution analytique n'est connue, excepté pour le problème à trois corps, pour lequel on sait déterminer certaines solutions dites "homographiques".

De 1808 à 1811, Joseph-Louis Lagrange, alors professeur de mathématiques à l'Ecole Polytechnique, s'intéresse au problème de la stabilité des planètes du système solaire. Le problème est de taille. Le système solaire est un ensemble inhomogène de matières, avec au centre, notre étoile, le Soleil, autour duquel gravitent neuf planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune, Pluton) et une ceinture d'astéroïdes. A cela s'ajoutent les différentes lunes, gravitant autour des planètes, et des comètes.

Grossièrement, la méthode de Lagrange consiste à effectuer des petites perturbations sur le mouvement d'une planète, autrement dit, sur les six constantes d'intégration. Cette pertubation varie dans le temps suivant une loi moyennant les forces subies :

Les calculs n'étaient pas justifiés. Poincaré montre la divergence des séries utilisées par les astronomes dans Méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Il faudra attendre la seconde moitié du XXe siècle pour que les outils nécessaires soient introduits. La véritable révolution apportée par Lagrange est d'avoir introduit une fonctionnelle d'énergie, aujourd'hui notée L et appelée Lagrangien, dont les points critiques sont les trajectoires du mouvement.

Une seconde révolution a été apportée quelques années plus tard par Hamilton.

Suit alors un long silence.

[modifier] Histoire de la géométrie symplectique

Dans la continuation des travaux de Lagrange et de Hamilton, pour établir l'existence d'orbites périodiques dans le problème des trois corps, Henri Poincaré se ramène à l'étude d'une application préservant l'aire sur un anneau . Cette application s'est avérée par la suite d'une grande utilité dans l'étude des flots de champs de vecteurs. Elle est aujourd'hui connue sous le nom d'application de retour de Poincaré.

Les résultats furent démontrés dans les années 1920 par George David Birkhoff ; ils sont aujourd'hui considérés comme les premiers travaux sur la géométrie symplectique - s'ils peuvent être considérés comme tels. Le théorème de Birkhoff affirme l'existence de points fixes pour un difféomorphisme de l'anneau , qui préserve la mesure de Lebesgue, et qui induit un difféomorphisme croissant sur et un difféomorphisme décroissant sur . En réalité, ils portaient d'avantage sur la préservation du volume. Mais en dimension 2, une mesure est essentiellement une forme d'aire, donc une forme symplectique. La dimension 2 reflète mal les particularités propres à la géométrie symplectique.

L'intérêt croissant vis-a-vis des structures symplectiques durant les dernières décennies s'explique par les besoins de la physique du XX^e siècle. Le passage de la mécanique classique à la mécanique quantique est à ce jour encore mal compris. La question de fonder de sérieuses bases mathématiques est un défi qui a conduit les mathématiciens à s'interroger à nouveau sur la dynamique hamiltonienne (la mécanique classique, des systèmes dynamiques de points matériels à l'optique géométrique). Le regard porté à la lumière de la géométrie différentielle ne pouvait être que nouveau.

La géométrie symplectique s'est constituée comme domaine d'étude à part entière dès la fin des années 1960. Ce nouveau souffle dans la recherche mathématique a introduit parallèlement une discipline connexe, la quantification géométrique.

Le théorème de Birkhoff préfigure la conjecture d'Arnold, énoncée au début des années 1960. Cette conjecture s'efforce de trouver un minorant du nombre d'orbites péridique pour un flot hamiltonien sur une variété symplectique compacte. En 1983, Conley et Zehnder démontrent la conjecture pour le tore. Inspiré de ces travaux, Andreas Floer démontre en partie la conjecture pour une large classe de variétés symplectiques compactes, étendue par la suite par Weinstein. Les méthodes utilisées ont contribué à la mise en place de l'homologie de Floer. La formulation de cette homologie représente un des aspects les plus puissants mis en place dans les dernières décennies. L'homologie de Floer est encore au coeur de la recherche actuelle.

Le théorème KAM figure parmi les résultats les plus cités en la matière. Il étudie la stabilité des systèmes mécaniques complètement intégrables. Le nom du théorème est l'abréviation des trois mathématiciens qui ont contribué à sa démonstration : Kolmogorov, Arnold et Moeser. Il justifie dans le langage actuel des mathématiques les résultats de Lagrange.

[modifier] Etymologie, Histoire de la terminologie

Avant d'être appelé "groupe symplectique linéaire", le groupe Sp(n) des isomorphismes symplectiques de Cⁿ était appelé "groupe du linéaire complexe". Afin d'éviter tout risque de confusion bien réel, Hermann Weyl introduit l'adjectif "symplectique", basé sur la racine grecque συµπλεκτικoς, traduction de la racine latine de "complexus".

Si "complexus" a donné le nom de complexité d'où dérive "nombre complexe", ce nom latin traduit l'idée d'entrelacement. D'ailleurs, en histoire naturelle, l'adjectif symplectique désigne "être entrelacé avec un autre corps".

La terminologie est heureuse, aussi étonnant que cela puisse paraitre. Hermann Weyl ne pouvait connaitre la formulation actuelle de la géométrie symplectique. Pour autant, l'idée d'entrelacement et de croisement est au coeur de la géométrie symplectique, et donc de la recherche actuelle :

• Le problème d'intersection de variétés lagrangiennes reste un sujet d'études. Il se trouve que, pour une grande classe d'isotopies hamiltoniennes, une sous-variété lagrangienne ne peut se déformer en une seconde sous-variété lagrangienne sans que persistent des points d'intersection. Ce résultat étonnant s'interprête par une propriété d'entrelacements de sous-variété ; il s'appuie sur le théorème de Weinstein.
• L'homologie de Floer s'efforce à comprendre la structure des orbites périodes d'un "flot hamiltonien". Cette théorie qui a montré sa puissance continue encore aujourd'hui à se développer. Grossièrement, elle consiste à décrire les orbites 1-périodiques comme les points critiques d'une fonctionnelle sur l'espace des lacets, généralisation de la fonctionnelle d'action en mécanique classique ; puis à effectuer des variations sur les lacets pour passer d'une orbite à une autre. Dans un premier temps, l'étude se restreignait aux seuls lacets contractibles (lacets se déformant en un point), mais depuis plusieurs années, les mathématiciens cherchent à étendre les résultats à tous les lacets.

[modifier] Questions ouvertes

Au terme des recherches actuelles, de nombreuses questions en géométrie symplectique demeurent ouvertes et mobilisent une grande activité mathématique.

[modifier] Topologie globale

Le théorème de Darboux affirme que localement deux variétés symplectiques s'identifient. Ainsi, aucun invariant local, autre que la dimension n'existe, au contraire de la géométrie riemannienne où il existe un inveriant de classe C^2 qui joue un rôle prépondérent, la courbure.

Une variété symplectique apparaît alors comme un objet géoémtrique qui se fabrique par recollement d'ouverts de Cⁿ dont les applications de recollement sont des difféomorphismes symplectiques, au sens sus-défini.

La topologie symplectique est l'étude globale de la géométrie symplectique. Elle soulève de nombreuses questions et est un sujet actif de recherche ! En voici un échantillon :

• Comment caractériser les variétés admettant une forme symplectique ? Comme distinguer deux formes symplectiques ? (Lire par exemple Théorème de Gromov.)
• Comment évaluer le nombre de points fixes d'un symplectomorphisme ? (Lire Conjecture d'Arnold ou Homologie de Floer.)
• Quel sens donner aux mesures bidimensionnelles occurant en géométrie symplectique ? (Lire Aire symplectique ou Capacité symplectique.)
• Existe-t-il des caractéristiques fermées sur une hypersurface de type contact ? (Lire Conjecture de Weinstein.)

[modifier] Pour aller plus loin

[modifier] Liens internes

• Forme symplectique
• Variété symplectique
• Lexique de la géométrie symplectique
• Courbe pseudoholomorphe

[modifier] Liens externes

• Les origines du calcul symplectique chez Lagrange, par Patrick Iglesias - Article sur la méthode des variations des constantes de Lagrange, amplement argumentés, et largement abordable.

• Aperçu des origines de la géométrie symplectique, par Patrick Iglesias et Zemmour - Article sur l'histoire des mathématiques avec la correction d'idées faussement communément admises.

• De la mécanique à la géométrie symplectique, par Michèle Audin et Patrick Iglesias - Exposé sur le mérite de Lagrange et rapide résumé de l'histoire des mathématiques qui a conduit à la formulation de la géométrie symplectique.

[modifier] Publications spécialisées

• (en) Alan D. Weinstein, Lectures on symplectic manifolds [détail des éditions]
• (en) Dusa McDuff et Dietmar Salamon, Introduction to symplectic topology [détail des éditions]
• Helmut Hofer et Eduard J. Zehnder ; Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics [détail des éditions]
• (en) Vladimir Igorevic Arnold, Mathematical methods of classical mechanics [détail des éditions]

[modifier] Ouvrage de mathématiques pour physiciens

Articles de géométrie

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Le problème de la fondation, ou des fondements, des mathématiques est celui des principes et de leur vérité. À partir de quels principes peut-on développer des connaissances mathématiques ?

[modifier] Le problème des fondements des mathématiques

Les mathématiques, ensemble des sciences ayant pour objet le nombre, la quantité, l’étendue et l’ordre, constituent apparemment le modèle de toute science. Avec les grecs, les mathématiques changent de statut : elles passent des calculs empiriques aux démonstrations rationnelles ; un détachement par rapport aux objets particuliers s’opèrent ; le concept de démonstration s’élabore avec le développement des maths. Avec Galilée, les mathématiques sont appliquées systématiquement à la physique, d’où le renforcement du prestige de cette science. Il est possible de mettre en évidence trois caractéristiques des maths :

1. Ce sont des démonstrations rigoureuses : le passage d’un chaînon au suivant ne laisse aucune place au doute, et contraint par là, l’assentiment universel.
2. Elles utilisent un langage univoque, artificiel et conventionnel, afin d’échapper aux confusions sous-tendues par le langage ordinaire.
3. Par principe, les maths sont une science hypothético-déductive : tout ce qui est établi procède d’enchaînements déductifs ; un théorème est une proposition dont la démonstration est possible par déductions successives. Ces chaînes déductives s’enracinent dans des vérités posées par hypothèse. Ces vérités sont les postulats, les axiomes, les définitions.

Dès lors, si l’on considère, du point de vue épistémologique, le réseau de croyances – ou attitudes propositionnelles d’un agent – constitutif des mathématiques, celui-ci renvoie à deux modèles distincts de la connaissance : le modèle fondationaliste et le modèle cohérentiste.

Le modèle fondationaliste repose sur la distinction entre les croyances de base (ou fondationnelles) et les croyances dérivées. L’enjeu du fondationalisme est de répondre au problème spécifique suivant : « comment établir les croyances de base ? » Les propriétés épistémiques des croyances dérivées relèvent en effet de celles des croyances de base. Les croyances de base sont des points terminaux dans une chaîne des raisons ; elles sont immunisées à l’égard du doute.

Selon le modèle cohérentiste, d’autre part, toutes les croyances propositionnelles ont prima facie, le même statut épistémologique. Les propriétés épistémiques d’une croyance propositionnelle donnée dépendent des propriétés épistémiques, non seulement d’autres croyances propositionnelles qui la justifient, mais encore, du réseau de croyances dans son ensemble. Les croyances propositionnelles n’ont aucune propriété intrinsèque, permettant d’opérer une distinction entre croyance de base et croyance dérivée. Toute croyance est par conséquent, sujette à révision ou pour le moins, révisable.

Ainsi, dans le cas du théorème, la vérité est donnée par préservation : étant donné les prémisses du raisonnement et la vérité de ces prémisses, la vérité du théorème est établie. La propagation de la vérité à travers le système relève de procédés essentiellement d’ordre syntaxique. Ce type de proposition peut être appelée : C-propositions (propositions cohérentes), c’est-à-dire des propositions dont la valeur de vérité est obtenue par préservation. D’autre part, la vérité des axiomes résulte d’un autre type d’attribution : elles est déclarée. Le procédé de déclaration de la vérité ne signifie rien d’autre que ceci : ce qui rend vrai un axiome ne trouve aucune expression dans les limites du langage formel donné. Il n’est pas nécessaire d’interroger les axiomes sur leurs origines. Les motifs et les justifications pour accepter la vérité d’une proposition à titre d’axiome ne sont pas pertinents. Seul compte le fait de déclarer la vérité de la proposition. Ce type de propositions peut être appelé : F-propositions (propositions fondationnelles), c’est-à-dire une proposition dont la valeur de vérité est obtenue par déclaration. Alors que les C-propositions permettent de propager et de garntir la consistance, les F-propositions introduisent la vérité dans le système.

De là, il s’ensuit une interrogation permanente au sujet des fondements des mathématiques : quelle est la solidité des F-propositions ? ne sont-elles pas de simples suppositions ? Trois conceptions s’opposent par rapport au problème des fondements des maths :

[modifier] Le logicisme

Le logicisme défendu notamment par G. Frege et B. Russell. La mathématique pure présente deux caractéristiques : la généralité de son discours –la considération des particuliers existants est exclue -, la déductibilité du discours mathématique – les inférences qui structurent le discours mathématique sont des implications formelles (elles affirment non pas les propositions elles-mêmes, mais la nécessité de leur connexion). En ce que le discours mathématique ne prétend qu’à une vérité formelle, il est possible de réduire les maths à la logique, les lois logiques étant les lois de l’être vrai. Par exemple, la définition logique du nombre, loin d’être réduite à l’opération concrète de dénombrement d’objets, consiste en la référence à l’égalité numérique de deux classes (deux classes ont le même nombre s’il est possible d’instaurer entre leurs éléments respectifs une relation un à un). Le logicisme rencontre néanmoins de réelles difficultés en tant qu’il engage ontologiquement par rapport aux classes. Or, la théorie des classes conduit à un paradoxe logique :

1. La classe de toutes les classes est une classe.
2. Soit la classe de toutes les classes qui ne sont pas membres d’elles-mêmes.
3. Si cette classe est membre d’elle-même, elle ne l’est pas car ses membres ne le sont pas.
4. Si cette classe n’est pas membre d’elle-même, elle l’est car elle contient toutes celles qui ne le sont pas.

[modifier] Le formalisme

Le formalisme soutenu par Hilbert: les mathématiques se présentent comme une pure construction de l’esprit. La tâche des mathématiciens est de déduire des théorèmes à partir d’axiomes qui ne sont ni vrais ni faux. La validité ne repose plus que sur la structure des énoncés, et non sur la nature de ce dont ils parlent. La vérité des maths est réduite )à la cohérence interne, la non contradiction des propositions. Cette conception formaliste est pourtant mise à mal par le théorème d’incomplétude de Gödel : tout système formel repose sur une proposition qui n’est ni démontrable, ni réfutable (par exemple, la proposition « ce système est cohérent »), mais intuitive.

[modifier] L'intuitionnisme

L’intuitionnisme défendu de manière paradigmatique par Poincaré : les maths ont un fondement intuitif. La compatibilité des postulats de la logique est par exemple un postulat intuitif à admettre. Ainsi, sans l’intuition, la logique s’avère stérile. Défendre une conception intuitionniste a des conséquences importantes. Ainsi, selon l’intuitionniste, on ne peut éliminer la double négation (contre la logique classique) : « non non p » ne se réduit pas à « p ». de là, il s’ensuit que « non p ou p » ne constitue pas un théorème, étant donné que « non non p implique p » n’est pas accepté. Ce qui justifie le refus de l’élimination de la double négation est la lecture de la négation comme « il n’existe pas de preuve que ».

[modifier] Les fondements de la géométrie

L’œuvre de Hilbert est très représentative de la crise des fondements qui s’est produite en mathématiques à la fin du XIX^e et au début du XX^e siècle.

Hilbert, comme d’autres logiciens et mathématiciens de son temps, s’est rendu compte que la géométrie euclidienne était incomplète, pas au sens où l’axiome des parallèles n’y est pas déductible, mais parce que tous les géomètres depuis Euclide se servent dans leurs preuves d’axiomes qui n’avaient jamais été explicités. À la suite des travaux de Pasch, Hilbert a donné une formulation presque complète de la géométrie euclidienne (Les fondements de la géométrie) pour laquelle aucun axiome géométrique n’était laissé dans l’ombre.

Ce programme de fondation de la géométrie n’était cependant pas achevé pour deux raisons. D’une part les règles admises de raisonnement étaient encore laissées dans l’implicite. D’autre part, un des axiomes de la géométrie, relatif à la continuité de l’espace, posait des problèmes d’interprétation associés à ceux de la définition des nombres réels et de la théorie des ensembles de Cantor.

[modifier] Les fondements de l’analyse et la théorie des ensembles

L’analyse, que l’on peut aussi appeler calcul infinitésimal, ou calcul différentiel et intégral, repose maintenant sur la définition de l’ensemble des nombres réels. Depuis les découvertes de Newton et Leibniz, il avait fallu sortir du cadre des éléments d'Euclide.

Les mathématiciens du XIXème siècle, notamment Cauchy et Weierstrass, pour l'analyse proprement dite, puis Dedekind et Cantor ont donné une formulation précise de principes qui permettent de raisonner avec rigueur et exactitude sur les nombres réels. Ceux-ci sont définis par Dedekind comme des ensembles de nombres rationnels. Peano a donné des axiomes et des méthodes formelles pour développer d’une façon logiquement rigoureuse l’arithmétique et celle-ci suffit pour fonder la théorie des nombres rationnels.

La théorie des ensembles de Cantor, qui n'était pas vraiment formalisée, semblait cependant le cadre idéal, paradisiaque selon l’expression de Hilbert, pour fonder l’analyse et plus généralement les mathématiques. Frege, de son côté avait donné des règles formelles précises et explicites pour une théorie logique qui devait permettre de fonder les mathématiques. On pouvait espérer une base solide.

Mais cette base « solide » n'a pas tardé à montrer ses faiblesses. La découverte du paradoxe de Burali-Forti (l'ensemble de tous les ordinaux est bien ordonné, ce bon ordre est supérieur à tous les ordinaux, donc à son propre ordinal), puis celle du paradoxe de Russell, proche sur le principe mais nettement plus simple (l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux-mêmes est un ensemble, il ne peut ni s'appartenir, ni ne pas s'appartenir à lui-même), montrent l'incohérence des ces deux théories (Russell a donné son paradoxe initialement pour la théorie de Frege).

Des solutions pour éviter ces paradoxes furent rapidement trouvées. L'une, initiée par Bertrand Russell, et développée dans les Principia Mathematica, stratifie les prédicats grâce à la notion de type : on ne peut plus écrire qu'un ensemble appartient à lui-même. L'autre, initiée par Zermelo, restreint la définition des ensembles par compréhension, c'est-à-dire par une propriété de ses éléments : la propriété de ne pas appartenir à soi-même ne définit plus un ensemble.

Mais pouvait-on s'assurer que l'on ne puisse pas dériver de nouveaux paradoxes dans ces théories ?

[modifier] Le programme de Hilbert

Pour répondre à la crise des fondements des mathématiques, Hilbert avait conçu un programme dont il établit les prémisses en 1900 dans l'introduction à sa célèbre liste de problèmes, le second problème étant justement celui de la cohérence de l'arithmétique. Il développe ce programme avec ses collaborateurs, parmi lesquels Bernays et Ackermann, essentiellement dans les années 1920. L'idée est grossièrement la suivante.

Tant que l'on manipule le fini, les mathématiques sont sûres. L'arithmétique élémentaire (en un sens qui doit se préciser) est sûre. Pour justifier l'utilisation d'objets abstraits ou idéaux, en particulier infinis, il suffit de montrer que la théorie qui les utilise est cohérente, mais bien-sûr cette cohérence doit elle-même être démontrée par des moyens finitaires. On peut alors affirmer l'existence de ces objets. C'est la position formaliste (à ne pas confondre avec le finitisme qui considère que seules les constructions directement finitaires ont un sens).

Le système dans lequel on pourrait formaliser les mathématiques finitaires n'est pas clair. A l'époque, il semble que Hilbert pensait, sans l'avoir explicitement formalisé, à un système plus faible que l'arithmétique de Peano, l'arithmétique primitive récursive : toutes les définitions de fonctions récursives primitives sont dans le langage, la récurrence est restreinte aux formules sans quantificateurs (disons aux égalités pour faire simple), donc très immédiate. Peu importe en fait : le second théorème d'incomplétude de Gödel, montre que l'on ne pourra même pas prouver dans la théorie arithmétique en question sa propre cohérence, et donc certainement pas celle de théories plus fortes qui assureraient la fondation des mathématiques.

Le programme de Hilbert n'est donc pas réalisable, en tout cas pas sans une révision drastique. Des logiciens comme Gentzen, et Gödel lui-même, ont pensé à rétablir ce programme en étendant la notion de méthodes finitaires, celles-ci ne pouvant cependant pas être définies une fois pour toutes par une théorie toujours à cause du second théorème d'incomplétude. Ainsi Gentzen a donnée en 1936 une preuve de cohérence de l'arithmétique de Peano dans un système forcément plus fort, où l'on raisonne par induction sur un ordre bien fondé (dénombrable mais plus grand que l'ordre des entiers), mais où l'induction est cependant restreinte à des formules sans quantificateurs, donc plus "immédiate". Si l'intérêt mathématique des méthodes mise en œuvre par Gentzen ne fait aucun doute, l'interprétation de ses preuves de cohérence, en tant que preuves "absolues" (ce sont bien sûr indubitablement des preuves de cohérence relative) reste très discutable.

Il reste que, malgré son échec, le programme de Hilbert a joué un rôle décisif dans le développement de la logique mathématique moderne.

[modifier] La méthode formelle

Il ne faudrait pas confondre formalisme, et méthode formelle. La méthode formelle est essentielle pour comprendre les mathématiques contemporaines.

Définir un théorie formelle, c'est :

• se donner des symboles (a, b, = , + , = > , etc) ;
• se donner une syntaxe pour construire des « phrases ». Par exemple on peut écrire a = > b mais pas ab = >  ;
• se donner une méthode pour déduire des phrases à partir d'autres phrases. Par exemple, si on a et alors on a aussi la « phrase » .

Définir une théorie de façon formelle est essentiel pour en donner des propriétés : cohérence ou incohérence, complétude ou incomplétude etc. Tant qu’on a pas formalisé une théorie, on ne sait pas exactement si une formule appartient ou non à la théorie.

Les règles de déduction de la logique classique sont désormais complètement connues et formalisées au sein de la logique mathématique. Toutes les connaissances mathématiques peuvent être prouvées avec ces règles et des axiomes convenablement choisis.

[modifier] Les théories des ensembles

Les mathématiques actuelles sont basées sur la notion d' ensemble. En fait, tout objet mathématique ou presque peut être défini comme un ensemble. Par exemple, « 23 » peut être défini comme un ensemble qui contient 23 éléments.
De même, peut être construit à partir d'ensembles comme suit :

• 
• 

(voir à ce sujet l'article sur la construction des entiers naturels).

Avec de telles définitions, ou d’autres semblables, toutes les connaissances mathématiques peuvent être prouvées à l’intérieur d’une théorie des ensembles. Leurs axiomes peuvent être considérés comme les principaux fondements des mathématiques (avec les règles de déduction du calcul des prédicats au premier ordre).

Plusieurs systèmes d’axiomes ont été proposés :

• La théorie axiomatique des ensembles « standard » comporte neuf axiomes. Ces axiomes ont été énoncés par Zermelo (1908) et complétés dans les années 1920 par Fraenkel et Skolem. Ils sont dits de Zermelo-Fraenkel et comprennent l'axiome du choix, d'où le sigle ZFC souvent employé pour désigner cette théorie. L'œuvre de l'association Bourbaki a été développée dans ce cadre axiomatique.
• La théorie des classes, de von Neumann, Gödel et Bernays (NGB). C’est une extension de ZFC qui lui est presque équivalente. Tous les théorèmes de ZFC sont des théorèmes de NGB. Inversement, tous les théorèmes de NGB qui ne mentionnent que les notions fondamentales de ZFC (c’est-à-dire les ensembles et non les classes) sont des théorèmes de ZFC. NGB convient mieux que ZFC pour formuler la théorie des catégories.
• La théorie des types de Whitehead et Russell, exposée principalement dans les Principia Mathematica. Son formalisme est lourd (des dizaines de pages pour prouver des trivialités) et ses principes sont peu élégants, parce qu’ils imposent beaucoup d’interdits injustifiés. Mais elle a une grande importance historique parce qu’elle est la première formulation axiomatique, rigoureuse et cohérente des principes généraux des mathématiques.
• La théorie du zig-zag interdit de Quine. Elle n'est pas très utilisée mais pourrait l’être davantage. Elle montre en particulier qu’on peut développer une théorie des ensembles sans exclure l’ensemble de tous les ensembles.
• D’autres théories, qui sont soit moins puissantes que les précédentes, parce qu’elles refusent les constructions ensemblistes trop audacieuses (théories constructivistes, intuitionnistes, finitaires, ...), soit plus puissantes parce qu’elles les complètent avec d’autres axiomes (axiome de constructibilité, axiomes des très grands ensembles, ...)

Parmi les mathématiciens, certains se contentent des axiomes ZF, et refusent l'axiome du choix (C), car ils considèrent que certaines de ses implications sont contre-intuitives. Certains mathématiciens refusent même ZF et la logique classique qui en est la base, car ils considèrent que tout doit être construit explicitement; c'est la raison pour laquelle on les appelle constructivistes ou intuitionnistes. Mais il n’y a pas de consensus sur les principes du constructivisme, ou de l’intuitionnisme. Il y a presque autant de constructivistes que d’intuitionnistes.

L'analyse non-standard ajoute à ZFC un prédicat unaire fondamental, attribuant le qualificatif standard ou non standard à la variable sur lequel il s'applique, et quelques axiomes supplémentaires pour utiliser ce prédicat. Cela permet d'augmenter le vocabulaire du mathématicien et de simplifier parfois ses phrases et ses preuves. Par exemple la continuité d'une fonction dans se définit plus simplement avec l'analyse non-standard :   f   standard est continue si pour tout   y   infiniment petit et pour tout   x,   f ( x + y )   est infiniment proche de f ( x ).   La notion d'infiniment petit est parfaitement définie en analyse non-standard. On obtient ainsi une définition de la continuité bien plus intuitive que la définition classique (dite « à base d'epsilons »), et qui demeure cependant logiquement rigoureuse.

[modifier] Références

• Conférence sur les fondements des mathématiques, par Jean-Yves Girard, 17 juin 2002, Université de tous les savoirs.