Topologie symplectique
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Vous avez de La topologie symplectique, ou géométrie symplectique est une branche de la topologie différentielle qui étudie des variétés symplectiques, c'est à dire des variétés différentielles dotées d'une forme différentielle de degré deux, non dégénérée, fermée. La topologie symplectique tire ses origines de la mécanique hamiltonienne, une version plus mathématiquement abstraite que la mécanique de Newton, où l'espace des phases de certains systèmes prennent la structure de variétés symplectiques.
La topologie symplectique partage de nombreux points communs avec la géométrie de Riemann, qui étudie les variétés différentielles dotées de tenseurs bilinéaires non dégénérés symétriques. Par contre, les variétés symplectiques n'ont pas d'invariants locaux telle que la courbure. C'est une conséquence du théorème de Darboux qui établit que deux variétés symplectiques sont localement isomorphes. La question de savoir quelles variétés admettent des structures symplectiques n'est pas encore complétement résolue.
Chaque variété de Kähler est également une variété symplectique. Au cours des années 1970, les experts du domaine étaient incertains quand à la question de savoir si des variétés symplectiques compactes autres que celles de Kähler existaient, mais depuis plusieurs exemples ont peu être construits (le premier est dû à William Thurston).
La plupart des variétés symplectiques ne sont pas de Kähler et n'ont donc pas de structure complexe intégrable compatible avec la forme symplectique. Mikhaïl Gromov a remarqué cependant que les variétés symplectiques possèdent de nombreuses structures quasi-complexes qui vérifient tous les axiomes d'une variété complexe à l'exception du fait que les fonctions de transition n'y sont pas holomorphes.
Gromov développa le fait qu'il existe de telles structures pour fonder une théorie des courbes pseudoholomorphes, qui permit de grandes avancées dans la recherche topologique symplectique, et notamment la découvert d'une classe d'invariants connus sous le nom d'invariants de Gromov-Witten, en coopération avec Edward Witten, qui ont un rôle clé dans la théorie des cordes.
[modifier] Voir aussi
- Variété symplectique
- Sous-variété lagrangienne
- Mécanique hamiltonienne
- Intégration symplectique
- Application moment
[modifier] Références
- (en) McDuff et Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford University Press, 1998. ISBN 0-198-50451-9.
- (en) Fomenko, Symplectic Geometry (2nd edition) (1995) Gordon and Breach Publishers, ISBN 2-88124-901-9.
