Función gamma

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Función Gamma

En matemática, la función gamma es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positivo, entonces la integral

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

converge absolutamente. Mediante la integración por partes, se puede mostrar que

$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,.$

Como Γ(1) = 1, esta relación implica que

$\Gamma(n+1) = n!\,$

para todo número natural n.

También de la misma relación se sigue que

$\lim_{z\to 0^+}\Gamma(z)=\lim_{z\to 0^+}\frac{\Gamma(z+1)}{z}=\infty$ .

A través de la relación

$\Gamma(1-z)\Gamma(z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}$ ,

válida para todo $z\notin\mathbb{Z}$ , se puede hacer una extensión analítica de $Γ(z)$ a todo el plano complejo.

La siguiente forma de definir la función gamma es válida para todos los número complejos excepto para los enteros no positivos:

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni .

Una forma alternativa de definir la función gamma es:

$\Gamma(z) = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n! n^z}{\prod^{n}_{k=0}(z+k)}$

El valor más conocido, para un número no entero, de la función gamma es:

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$

[editar] Aplicaciones de la función gamma

[editar] Cálculo fraccionario

La n-ésima derivada de $a x b$ (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:

$\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots\left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}=\frac{b!}{\left(b-n\right)!}ax^{b-n}$

como $n! = Γ(n + 1)$ entonces $\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(ax^{b}\right)=\frac{\Gamma\left(b+1\right)}{\Gamma\left(b-n+1\right)}ax^{b-n}$ donde n puede ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites.