Ekstremum
Z Wikipedii
Ekstremum lokalne (lub po prostu ekstremum) funkcji to taki punkt, w którym funkcja ma wartość większą lub mniejszą od wszystkich innych punktów w pewnym otoczeniu tego punktu. Na przykład funkcja:
ma dwa ekstrema lokalne - jedno minimum i jedno maksimum.
Ekstremum globalne to taki punkt, w którym wartość funkcji jest większa lub odpowiednio mniejsza niż we wszystkich innych punktach. Powyższa funkcja nie ma ekstremum globalnego.
Jeśli funkcja ma pochodną w danym punkcie x ma w nim ekstremum, to pochodna funkcji w tym punkcie musi być równa zero.
Powyższy fakt został zaobserwowany przez Fermata i jest warunkiem koniecznym dla istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej w danym punkcie. Punkt, w którym pochodna funkcji jest równa zero nazywamy punktem stacjonarnym.
Nie jest to jednak warunek wystarczający: funkcja f(x) = x3 ma w punkcie zero pochodną równą zeru, nie ma natomiast w tym miejscu (ani w żadnym innym) ekstremum.
Aby w danym punkcie występowało ekstremum, dodatkowo
- dla maksimum (pochodna maleje):
- w lewym sąsiedztwie punktu wartość pochodnej musi być większa od zera,
- w prawym sąsiedztwie od punktu wartość pochodnej musi być mniejsza od zera;
- dla minimum (pochodna rośnie):
- w lewym sąsiedztwie punktu wartość pochodnej musi być mniejsza od zera,
- w prawym sąsiedztwie punktu wartość pochodnej musi być większa od zera.
Jeśli funkcja w danym punkcie nie ma pochodnej, punkt ten może, lecz nie musi być jej ekstremum. Na przykład wartość bezwzględna ma minimum w punkcie zero, nie ma natomiast w tym punkcie pochodnej.
Jeśli pochodna funkcji f(x) w punkcie x0 wynosi zero, to jeśli druga pochodnaf''(x) = (f'(x))' jest:
- większa od zera, to f(x) w punkcie x0 ma minimum lokalne,
- mniejsza od zera, to f(x) w punkcie x0 ma maksimum lokalne,
- równa zeru, to f(x) w punkcie x0 ma punkt przegięcia.
