Equazioni di Maxwell

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Le equazioni di Maxwell sono un sistema di equazioni fondamentale nello studio dei fenomeni elettromagnetici: governano infatti l'evoluzione spaziale e temporale dei campi elettrico e magnetico. Appaiono per la prima volta al completo in forma differenziale, in "A Treatise on Electricity and Magnetism", pubblicato da James Clerk Maxwell nel 1873. La notazione moderna più comune di queste equazioni fu sviluppata da Oliver Heaviside.

Indice

1 Forma differenziale
2 Correzioni nei materiali
3 Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare
4 Forma tensoriale relativistica
5 Forma integrale
6 Voci correlate
7 Bibliografia
8 Collegamenti esterni

[modifica] Forma differenziale

Nel caso più generale, in cui i campi dipendano dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell è, nel sistema di unità di misura internazionale:

$\left\{ \begin{matrix} \vec \nabla \cdot \vec E = \frac {\rho}{\epsilon_0}\\ \vec \nabla \times \vec E = -\frac {\partial \vec B}{\partial t}\\ \vec \nabla \cdot \vec B = 0\\ \vec \nabla \times \vec B = \mu_0 \vec j + \epsilon_0 \mu_0 \frac {\partial \vec E}{\partial t} \end{matrix} \right.$

dove $\nabla \cdot$ e $\nabla \times$ sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore espressi tramite l'operatore ∇, E è il campo elettrico, B il campo magnetico (o di induzione magnetica), ρ la densità di carica e $\vec j$ il vettore densità di corrente. Le costanti ε₀ e μ₀ sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione $\frac{1}{c^2} = \epsilon _0 \mu _0$ , dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

$c^2 \vec \nabla \times \vec B = \frac {\vec j}{\epsilon _0} + \frac {\partial \vec E}{\partial t}$

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica, le equazioni di Maxwell permettono di calcolare l'evoluzione dei campi elettromagnetici nel vuoto

$\left\{ \begin{matrix} \vec E(\vec r,t)\\ \vec B(\vec r,t) \end{matrix} \right.$

una volta assegnate la densità di carica e la densità di corrente

$\left\{ \begin{matrix} \rho(\vec r,t)\\ \vec j(\vec r,t) \end{matrix} \right.$

La forza di Lorentz, invece, è la legge che esprime l'effetto che il campo elettrico e quello magnetico hanno su di una carica elettrica $q$

$\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$

Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in movimento. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

[modifica] Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

$\left\{ \begin{matrix} \vec \nabla \cdot \vec D = \rho \\ \vec \nabla \times \vec E = -\frac {\partial \vec B}{\partial t} \\ \vec \nabla \cdot \vec B = 0 \\ \vec \nabla \times \vec H = \vec j + \frac {\partial \vec D}{\partial t} \end{matrix} \right.$

dove i nuovi campi D (induzione o spostamento elettrico) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

$\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P$

$\vec B = \mu_0 (\vec H + \vec M)$

dove i vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

$\vec D = \epsilon_0 \epsilon_r \vec E$

$\vec B = \mu_0 \mu_r \vec H$

dove le costanti di proporzionalità ε_r e μ_r sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle, sarebbero valide le equazioni generali.

[modifica] Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare

La seconda equazione stabilisce che la divergenza di B è nulla. Poiché la divergenza di un rotore è sempre nulla, esiste un campo vettoriale $\vec A$ per cui

$\vec B = \vec \nabla \times \vec A$

$\vec A$ è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la seconda equazione di Maxwell come

$\vec \nabla \times \vec E = - \frac {\partial }{\partial t} \vec \nabla \times \vec A$

che può anche essere espressa come

$\vec \nabla \times (\vec E + \frac {\partial }{\partial t} \vec A)=0$

Poiché il rotore di un gradiente è sempre nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare $φ$ nel modo seguente

$\vec E + \frac {\partial \vec A}{\partial t} = - \vec \nabla \phi$ da cui segue $\vec E = - \vec \nabla \phi - \frac {\partial \vec A}{\partial t}$

Riassumendo abbiamo definito un potenziale vettore ed un potenziale scalare legati ai campi vettoriali $\vec E$ e $\vec B$ dalle equazioni

$\left\{ \begin{matrix} \vec B = \vec \nabla \times \vec A\\ \vec E = -\vec \nabla \phi - \frac{\partial }{\partial t} \vec A \end{matrix} \right.$

Con queste nuove definizioni, la prima equazione di Maxwell diventa

$\vec \nabla \cdot (-\vec \nabla \phi - \frac {\partial \vec A}{\partial t}) = \frac {\rho }{\epsilon _0}$

cioè

$(1): -\vec \nabla ^2 \phi - \frac {\partial }{\partial t} \vec \nabla \cdot \vec A = \frac {\rho }{\epsilon _0}$

La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue

$c^2 \vec \nabla \times (\vec \nabla \times \vec A) = \frac {\vec j}{\epsilon _0} + \frac {\partial}{\partial t}(- \vec \nabla \phi - \frac {\partial \vec A}{\partial t})$

ossia, usando la proprietà $\vec \nabla \times (\vec \nabla \times \vec C) = \vec \nabla (\vec \nabla \cdot \vec C) - \vec \nabla^2 \vec C$

$(2): -c^2 \vec \nabla^2 \vec A + c^2 \vec \nabla (\vec \nabla \cdot \vec A) + \frac {\partial \vec \nabla \phi}{\partial t} + \frac {\partial ^2 \vec A}{\partial t^2} = \frac {\vec j }{\epsilon _0}$

Sfruttando ancora una volta il fatto che il rotore di un gradiente è nullo, si scopre facilmente che, eseguendo una sostituzione come questa qui di seguito ( $Ψ$ è un qualsiasi campo scalare)

$\left\{ \begin{matrix} \vec A \mapsto \vec A + \nabla \cdot \Psi\\ \phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\ \end{matrix} \right.$

allora le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Per verificarlo basta sostituire i nuovi potenziali nelle espressioni di E e di B ricavate sopra. Questa operazione è detta operazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge per calibro. Sfruttando l'invarianza di Gauge, possiamo scegliere ∇·A a piacere. Scegliendo un opportuno valore per ∇ ·A, ad esempio

$\vec \nabla \cdot \vec A = -\frac {1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t}$

e sostituendo in (1) e (2), si ottengono due equazioni disaccoppiate:

$(1): \vec \nabla ^2 \phi - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac {\rho }{\epsilon _0}$

Similmente nella (2), eliminando i termini opposti, ottengo

$(2): \vec \nabla^2 \vec A - \frac {1}{c^2} \frac {\partial ^2 \vec A}{\partial t^2} = -\mu _0 \vec j$

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Riassumendo: per risolvere le equazioni di Maxwell ho introdotto il potenziale vettore e quello scalare che, inseriti nelle equazioni di Maxwell e sfruttando l'invarianza di Gauge diventano un sistema di quattro equazioni differenziali in quattro campi scalari incogniti. Esplicitando, il sistema assume la forma

$\left\{ \begin{matrix} \vec \nabla ^2 \phi - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac {\rho }{\epsilon _0}\\ \vec \nabla ^2 A _x - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu _0 j _x\\ \vec \nabla ^2 A _y - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu _0 j _y\\ \vec \nabla ^2 A _z - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu _0 j _z\\ \end{matrix} \right.$

Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

[modifica] Forma tensoriale relativistica

Nota: Per semplicità, consideriamo c = 1

Come abbiamo visto, A e V sono dei quadrivettori. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore J_μ con i termini noti di 1 e 2, otteniamo:

$J_\mu = ( \frac{\rho}{\epsilon _0}, \frac{\vec j}{\epsilon _0})$

Se vediamo come abbiamo definito ∇·A

$\nabla \cdot \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0$

questo ci dà la relazione

$\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0$

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi, con l'operazione di gauge che abbiamo posto prima, intendevamo dire che il quadrivettore formato dalle componenti di A e V è invariante. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge. Il quadrivettore

$A_ \mu = ( V, \vec A)$

è chiamato quadripotenziale.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert

$\Box = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}$

e il fatto che c lo poniamo pari a 1, risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

$\Box A_\mu + J_ \mu = 0$

Le componenti di E e B sono ricavate dalle normali relazioni E = ∇A_μ e B = ∇ × A_μ. Si trova che insieme essi formano un tensore antisimmetrico del secondo ordine F (detto tensore di Faraday) così composto:

$F^{\alpha\beta} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right) .$

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

[modifica] Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso microscopico ( $\hat n$ è la normale alla superficie S):

$\int_S \vec E \cdot \hat n \,dS = \frac {1}{\epsilon_0} \int \rho~\operatorname{d}V$

$\oint_C \vec E \cdot d\vec C = - \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \int_S \vec B \cdot \hat n\, dS$

$\int_S \vec B \cdot \hat n\, dS = 0$

$\oint_C \vec B \cdot d\vec C = \mu_0 I + \mu_0\epsilon_0 \int_S \frac{\partial}{\partial t}\vec E \cdot \hat n\, dS$

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico. Per ricavare le equazioni di Maxwell in forma integrale dalla corrispondente forma locale, è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

Maxwell, James Clerk, "A Treatise on Electricity and Magnetism", Clarendon Press, Oxford, 1873

[modifica] Collegamenti esterni

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