Równania Maxwella

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Równania Maxwella - cztery fundamentalne równania elektromagnetyzmu sformułowane przez Jamesa Clerka Maxwella. Opisują one własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali elektromagnetycznej propagującej się (rozchodzącej się) w próżni z prędkością światła ( $c = {1 \over \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$ ).

[edytuj] Równania Maxwella

Lp.	Postać różniczkowa	Postać całkowa	Nazwa	Fizyczne fakty wynikające z równań
1.	$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}}$	$\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$	prawo Faradaya	Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne
2.	$\nabla \times \vec{H} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}} {\partial t}$	$\oint_L \vec{H} \cdot d\vec{l} = I + \frac{d\Phi_D}{dt}$	prawo Ampère'a rozszerzone przez Maxwella	Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają wirowe pole magnetyczne
3.	$\nabla \cdot \vec{D} = \rho_V$	$\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{s} = \int_V \rho_V \cdot dv$	prawo Gaussa dla elektryczności	Źródłem pola elektrycznego są ładunki
4.	$\nabla \cdot \vec{B} = 0$	$\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{s} = 0$	prawo Gaussa dla magnetyzmu	Pole magnetyczne jest bezźródłowe, linie pola magnetycznego są zamknięte

gdzie:

D - indukcja elektryczna, [ C / m²]
B - indukcja magnetyczna, [ T ]
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ]
H - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ]
Φ_D - strumień indukcji elektrycznej, [ C = A·s]
Φ_B - strumień indukcji magnetycznej, [ Wb ]
j - gęstość prądu, [A/m²]
ρ - gęstość ładunku, [ C / m³]

$\nabla \cdot$ - operator dywergencji, [1/m],
$\nabla \times$ - operator rotacji, [1/m].

[edytuj] Szczególne przypadki

[edytuj] W ośrodkach liniowych

W wielu materiałach przy niezbyt dużych natężeniach pola D i B zależą liniowo od E i H :

$\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$

$\vec{B} = \mu \vec{H}$

gdzie:

ε przenikalność elektryczna

μ przenikalność magnetyczna

(o efektach nieliowych - komórka Kerra i efekt elektrooptyczny)

W ogólnym przypadku przenikalność elektryczna i magnetyczna jest tensorem, oznacza to że D do E lub H do B nie są równoległe. Ale w większości przypadków materiały są izotropowe i wówczas ε i μ są skalarami (liczbami), wówczas równania Maxwella przyjmują uproszczoną postać.

$\nabla \cdot \varepsilon \vec{E} = \rho$

$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial t}$

$\nabla \times {\vec{B} / \mu} = \vec{j} + \varepsilon \frac{\partial \vec{E}} {\partial t}$

[edytuj] W próżni

Próżnia jest ośrodkiem liniowym, izotropowym. Przenikalnośc elektryczną próżni oznacza się przez ε₀, a przenikalność magnetyczną próżni przez μ₀, w próżni nie ma ładunków (ρ) i nie płynie prąd (j = 0) wówczas równania Maxwella upraszczają się do postaci:

$\nabla \cdot \vec{E} = 0$

$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}} {\partial t}$

Z równań tych Maxwell wywnioskował, że zmienne pole elektryczne w próżni wywołuje zmienne pole magnetyczne a zmienne pole magnetyczne wywołuje zmienne pole elektryczne. Zmiany te, to fala elektromagnetyczna, rozchodzą się z prędkością

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ .