Axioma

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O termo axioma é originário da palavra grega αξιωμα (axioma), que significa algo que é considerado ajustado ou adequado, ou que tem um significado evidente. A palavra axioma vem de αξιοειν (axioein), que significa considerar digno. Esta, por sua vez, vem de αξιος (axios), significando digno. Entre os filósofos gregos antigos, um axioma era uma reivindicação que poderia ser vista como verdadeira sem nenhuma necessidade de prova.

Na epistemologia, um axioma é uma verdade auto-evidente, na qual outros conhecimentos se devem apoiar e a partir da qual outro conhecimento é construído. Contudo, nem todos os epistemologistas concordam que os axiomas, entendidos neste sentido, existam.

A palavra axioma como é usada na Matemática moderna, não é uma proposição auto-evidente. Mais do que isso, simplesmente significa um ponto de partida num sistema lógico. Por exemplo, em alguns anéis, a operação de multiplicação é comutativa, e em alguns não é; tais anéis nos quais é são ditos por satisfazerem o "axioma da comutatividade da multiplicação." Outro termo para axioma é postulado. Um axioma é uma base elementar num sistema formal de lógica que, juntamente com as regras de inferência, definem a lógica.

Por exemplo (conforme dito por Peano), a simples adição aritmética pode ser definida e muitos teoremas provados por assumindo que

um número chamado 0 (zero) existe
cada número X tem um sucessor chamado inc(X)
X+0 = X
inc(X) + Y = X + inc(Y)

Usando esses axiomas, e definindo os nomes habituais 1, 2, 3, e assim por diante como inc(0), inc(inc(0)), inc(inc(inc(0))) respectivamente, podemos mostrar que:

inc(X) = X + 1

1 + 2 = 1 + inc(1) Expansão da abreviação (2 = inc(1))

1 + 2 = inc(1) + 1 Axioma 4

1 + 2 = 2 + 1 Abreviação (2 = inc(1))

1 + 2 = 2 + inc(0) Expansão da abreviação (1 = inc(0))

1 + 2 = inc(2) + 0 Axioma 4

1 + 2 = 3 Axioma 3 e uso da abreviação (inc(2) = 3)

Qualquer facto que podemos derivar dos axiomas não é, necessariamente, um axioma. Qualquer coisa que não podemos derivar a partir de axiomas e dos quais não podemos derivar a negação poderia razoavelmente ser adicionado como um axioma.

Provavelmente o mais famoso e mais antigo conjunto de axiomas é os postulados de Euclides. Esses mostraram-se bem incompletos e, na verdade, muitos outros postulados foram necessários para completamente caracterizar a sua geometria (Hilbert usou 23).

4+1 desde o quinto postulado (por um ponto fora de uma recta há exatamente uma paralela) suspeitou-se ser derivado dos primeiros quatro por quase dois milênios. Ultimamente, o quinto postulado foi descoberto ser independente dos primeiros quatro. Certamente, pode-se assumir que nenhuma paralela sobre um ponto fora de uma recta exista, que exactamente uma existe, ou que existem infinitamente muitas. Essas escolhas dão-nos formas diferentes de geometria, nas quais os ângulos internos de um triângulo se adicionam, a menos que, exactamente ou mais que dois ângulos rectos, são respectivamente conhecidas como geometria elíptica, geometria euclidiana e geometria hiperbólica. A teoria da relatividade é essencialmente a afirmação de que massa dá geometria hiperbólica espacial.

O facto de que formas alternativas de geometria possam existir foi um grande problemas para os matemáticos do século XIX e em desenvolvimentos similares, diz a álgebra booleana, existirem geralmente esforços elaborados para derivar o sistema dos sistemas aritméticos normais. Galois mostrou antes de sua morte prematura que esses esforços eram um desperdício mas que grandes paralelos entre sistemas axiomáticos poderiam ser postos em uso desde que eles algebricamente resolvam muitos dos problemas geométricos clássicos. Por último, os paralelos abstratos entre os sistemas algébricos parecem ser mais importantes que os detalhes e a álgebra moderna nasceu.

No século XX, o teorema da incompletude de Gödel mostrou que nenhum grupo de axiomas explícitos (isto é, recursivos) é suficientemente grande para que as matemáticas comuns possam ser tão (1) completas (isto é, cada afirmação pode ser provada ou desmentida) e (2) consistentes (isto é, nenhuma afirmação pode ser tanto provada quanto desmentida).