Teorema da incompletude de Gödel
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Em lógica matemática, os Teoremas da incompletude de Gödel são resultados provados em 1930. O primeiro teorema afirma, de forma simplificada: Em qualquer formalismo matemático consistente suficientemente robusto para definir os conceitos de números naturais (da aritmética), existirá a possibilidade de formar uma afirmação indecidível, ou seja, não pode ser provada verdadeira nem falsa.
O segundo teorema da incompletude de Gödel, provado por formalização do próprio primeiro teorema em si, enuncia-se: Nenhum sistema consistente pode ser utilizado para provar a sua própria consistência.
O resultado foi devastador para uma abordagem filosófica à matemática conhecida como Programa de Hilbert. David Hilbert propôs que a consistência de sistemas mais complexos, como análise real, poderiam ser provados em termos de sistemas mais simples. Assim, a consistência de toda a matemática seria reduzida à aritmética básica. O segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que a aritmética básica não pode ser usada para provar sua própria consistência, portanto não pode ser usada para provar a consistência de nada mais forte.