Аксіома

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

АКСІО́МА (грец. axiōma - загальноприйняте, безперечне, від axio - вважаю гідним, наполягаю, вимагаю)

1) вихідне положення, самоочевидний принцип. В дедуктивних наукових теоріях аксіомами називають основні вихідні положення чи твердження якоїсь теорії, що приймаються без доведень, і з яких шляхом дедукції, тобто чисто логічними засобами, одержують весь інший її зміст. Див. Аксіоматичний метод.

2) перен. те, що не потребує жодних доведень.

[ред.] Історія

Початкові геометричні відомості дійшли до нас з глибокої давнини. Наприклад, формули для обчислення площ земельних ділянок, що мають форму прямокутника, трикутника, трапеції, було знайдено в староєгипетських математичних папірусах, які належать до 2000 р. до н. е., в клинописних таблицях стародавнього Вавілону.

Початкові геометричні знання були добуті дослідним шляхом. Отримання нових геометричних фактів шляхом міркувань (доведень) почалося від давньогрецького вченого Фалеса (VI ст. до н. е.). Йому приписують встановлення властивостей рівнобедреного трикутника, доведення рівності вертикальних кутів, доведення того, що вписаний кут, що спирається на діаметр ,- прямий (має 90°), та ін.. Фалес, очевидно, застосовував поворот частини фігури і перегинання креслення, тобто перетворення, які зараз називають переміщеннями, чи рухами (див. Геометричні перетворення).

Поступово докази набувають геометрії дедалі більше значення. До III ст. до н. е. геометрія стає дедуктивної наукою, тобто наукою, у якій більшість фактів встановлюється шляхом виведення (дедукції), доведень. В ті часи давньогрецьким ученим Евклідом була написана книга «Початки». В ній було сформульовано і доведено властивості паралелограмів і трапецій, теорему Піфагора, вивчається подібність многокутників, розглядається багато інших геометричних фактів.

У книзі Евклід проводить аксіоматичний погляд на геометрію. Точка зору Евкліда була такою: для довільної теореми, можна простежити, які раніше доведені теореми були використані при її доведенні. Для цих раніше доведених теорем у свою чергу можна виділити ще простіші факти, з яких вони виводяться, і т. д. Зрештою, можна отримати набір деяких фактів, що дозволяють довести всі теореми геометрії. Ці факти настільки прості, що не виникає питання необхідності їх доведення. Їх назвали аксіомами. Весь набір аксіом (система) називається аксіоматикою. Таким чином, аксіоми - це початкові факти геометрії, які приймаються без доведень і дозволяють доводити з них всі подальші факти цієї науки. Твердження, доведені з аксіом, називають теоремами. Серед сформульованих Евклідом аксіом є, наприклад, такі: «через дві точки можна провести пряму»; «попарно рівні третьму рівні між собою»; «якщо на площині дані пряма і точка, що лежить поза цією прямою, то через цю точку можна провести в площині не більше однієї прямої, яка не перетинається з цією прямою» (остання цих аксіом - аксіома паралельності - у Евкліда формулювалася трохи інакше ).

Аксіоми є не тільки в геометрії, а й в алгебрі та інших математичних науках. Наприклад, рівності:

a + b = b + a
a + (b + c) = (a + b) + c
a+0=a
a+(-a)=0
a*b = b*a
a(bc) = (ab)c
a*1 = a
a(1/a)=1, (a!=0)
a(b+c)=ab+ac

які відображають властивості додавання і множення, є в алгебрі аксіомами: вони приймаються без доведення і використовуються для доведення нових фактів (для доведення теорем). Наприклад, за допомогою аксіом доводять формули квадрата суми чи різниці, правила множення багаточленів, формули суми членів геометричної прогресії та інші

В математичній науці аксіоми виникають в процесі її тривалого і складного історичного розвитку. Початкові факти накопичуються в процесі практичної діяльності людини. Їх перевіряють, уточнюють, систематизують. Виключають з них ті, які можуть бути отримані з інших початкових фактів. Іноді виявляється, що отриманий список найпростіших фактів (аксіом) - неповний, тобто цих фактів недостатньо для виведення всіх теорем, і тоді до цього списку додають відсутні аксіоми. В результаті і виходить повний набір аксіом (аксіоматика). Після Евкліда математики багатьох поколінь прагнули поліпшити, доповнити його аксіоматику геометрії. Велику роль зіграли роботи сучасника Евкліда, давньогрецького вченого Архімеда, який сформулював аксіоми, що належать до вимірювання геометричних величин. Істотний внесок в удосконалення аксіоматики геометрії внесли М. І. Лобачевський, М. Паш, Д. Ж. Пеано. Логічно бездоганний список аксіом геометрії була вказана на межі ХIХ і ХХ ст. німецьким математиком Д. Гільбертом.