Análise real
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Análise real é o ramo da análise matemática que lida com conjuntos e funções de números reais. Ela pode ser vista como uma versão rigorosa do cálculo e estuda conceitos como sequências (sucessões, em Portugal) e seus limites, continuidade, derivadas, integrais e sequências de funções.
A apresentação da análise real em textos avançados geralmente começa com provas simples em teoria dos conjuntos, uma definição precisa do conceito de função e uma introdução aos números naturais e a importante técnica de prova chamada de indução matemática.
Continuando, os números reais podem ser tanto introduzidos da maneira axiomática quanto construídos a partir de seqüências de números racionais. As primeiras conseqüências são derivadas, sendo as mais importantes as propriedades do valor absoluto como a desigualdade triangular e a desigualdade de Bernoulli.
O conceito de convergência, central para a Análise, é introduzido via limites de sequências. Muitas leis que governam os processos limites podem ser derivadas, e muitos limites calculados. Séries infinitas, as quais pertencem à um tipo especial de seqüências, são estudadas neste ponto. Séries de potências servem para definir muitas funções centrais, como a função exponencial e as funções trigonométricas. Varios tipos de subconjuntos dos números reais, como conjuntos abertos, conjuntos fechados e espaços compactos, e suas propriedades são introduzidas em seguida.
O conceito de continuidade pode agora ser definido via limites. Mostra-se que a soma, o produto, a composição e o quociente de funções contínuas resulta em uma função contínua e prova-se o Teorema do Valor Intermediário. A noção de derivada pode ser introduzida como um particular processo limite e as familiares regras de diferenciação do cálculo podem ser provadas rigorosamente. Um teorema central aqui é o teorema do valor médio.
Então pode-se fazer integrais (de Riemann e de Lebesgue) e provar o teorema fundamental do cálculo, tipicamente usando o teorema do valor médio.
Neste ponto, seria útil estudar as noções de continuidade e convergência em uma base mais abstrata, para um posterior estudo de espaços de funções. Isto é feito em topologia e usando espaços métricos. Conceitos como compacidade, completeza, conectividade, continuidade uniforme, separabilidade, mapas de Lipschitz, "contractive maps" são definidos e investigados.
Finalmente, pode-se tomar limites de funções e tentar mudar a ordem de integrais, derivadas e limites. A noção de convergência uniforme é importante neste contexto. Aqui é útil ter um conhecimento rudimentar em espaços vetoriais normalizáveis e espaços munidos de produto interno. séries de Taylor também podem ser estudadas.
