Integral de Riemann
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No ramo da matemática conhecido como análise real, a integral de Riemann, criada por Bernhard Riemann, foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo. Enquanto a integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos teóricos, ela é uma das definições mais fáceis de integral. Algumas deficiências destas técnicas podem ser remediadas pela integral Riemann-Stieltjes, e a maioria deles desaparece na integral Lebesgue.
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[editar] Visão geral
Seja f(x) uma função não negativa valida para os números reais do intervalo [a,b], e seja S = (x,y) | 0 < y < f(x) uma região plana sobre a função f(x) e acima do intervalo [a,b] (veja na figura 2). Nosso interesse é medir a área de S. Uma vez realizado esta medição, nos iremos denotá-la por:
A ideia básica de integral Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidade para a área de S. Para se ter uma aproximação cada vez melhor, nos podemos dizer que "no limite" iremos obter exatamente a área de S sob a curva.
Note que onde f pode ser positivo e negativo, a integral corresponde a "área com sinal"; isto é, a área acima do eixo x é positiva e a área abaixo do eixo x negativa.
[editar] Definição da integral de Riemann
[editar] Partições de um intervalo
Uma partição de um intervalo [a,b] é uma sequência finita . Cada [xi,xi + 1] é denominado como um sub-intervalo da partição. A malha de uma partição é definida como o comprimento do mais longo sub-intervalo [xi,xi + 1], isto é, aquele em que max(xi + 1 − xi) onde
. Isto também é conhecido como norma de partição.
Uma partição de um intervalo etiquetado é uma partição de um intervalo juntamente com uma sequência finita de números sujeito a condição que para cada i,
. Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma que para uma partição ordinária.
Suponha que juntamente com
são uma partição etiquetada de [a,b], e que
juntamente com
seja uma outra partição etiquetada de [a,b]. Nos poderemos dizer que
e
juntas são um refinamento da
juntamente com
se para cada inteiro i com
, exista um inteiro r(i) tal que xi = yr(i) e tal que ti = sj para algum j com
. Falando de uma maneira mais simples, um refinamento de uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas isto não chega a lugar algum.
Nos podemos definir uma ordem parcial um subconjunto de todas as etiquetas de partição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um refinamento da menor.
[editar] Soma de Riemann
Escolha uma função válida para números reais f a qual se encontra definida no intervalo [a,b]. A Soma de Riemann de f com respeito a partição denominada com
é:
Cada termo na soma é o produto do valor da função em um ponto dado e o comprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de um retângulo com a altura f(ti) e o comprimento xi + 1 − xi. A soma de Riemann é a área sinalizada de todos os retângulos.
[editar] A integral de Riemann
Grosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com uma função de partição que se afine cada vez mais. Contudo, o significado preciso a cerca do que significa "cada vez mais fino" é o mais importante.
Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até que seu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boa aproximação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom para definir uma integral. Para ser especifico, nos dizemos que a integral Riemann de f se igualara a S se as seguintes condições foram consideradas:
- Para todo ε > 0, onde exista δ > 0 tal que para qualquer partição etiquetada
e
onde a malha seja menor que δ, nos temos:
Contudo, a um desagradável problema com esta definição: ela é muito difícil para se trabalhar. Então nos iremos fazer uma definição alternativa para a integral de Riemann a qual seja mais fácil para se trabalhar, então se prova que esta é a mesma que a definição que a original. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de f é igual a s se as seguintes condições foram consideradas:
- Para todo ε > 0, existe uma partição etiquetada
e
tal que para qualquer refinamento
e
de
e
, nos teremos
Ambos eventualmente significam, a soma de Riemann de f com respeito para qualquer partição que seja selecionada que leve a se aproximar de s. Desde que isto seja verdade, não importa a proximidade que necessitamos que esta soma ira assumir, nos diremos que a soma Riemann convergira para s. Esta definição é sempre um caso especial de um conceito mais geral, uma rede.
Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outras palavras, s funciona na sua primeira definição se e somente se s funciona na sua segunda definição. Para mostras que a primeira definição implica na segunda, iniciamos com um ε, e escolhemos um δ que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição etiquetada onde a malha é menor que δ. Esta soma Riemann é em dentro ε de s, e qualquer refinamento desta partição ira também ter uma grade menor que δ, então a soma de Riemann dos refinamentos ira também estar em ε de s. Para mostrar que a segunda definição implica na primeira, isto é facilitado com uso da integral Darboux. Primeiro mostraremos que a segunda é equivalente a definição da integral Darboux, para isto veja a integral. Agora nos iremos mostras que a função de integração de Darboux satisfaz a primeira definição. Escolha a partição tal que o limite inferior e superior da soma de Darboux com respeito a esta partição esteja em dentro
do valor s da integral de Darboux. Seja r igual
, onde Mi e mi sã o supremum e infimum, respectivamente, de f em [xi,xi + 1], e sendo δ menor que
e
. Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de f com respeito de qualquer partição etiquetada da grade menor que δ ira estar em dentro de
da maior ou menor soma de Darboux, então isto estará em dentro de ε de s.