Integral de Riemann

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No ramo da matemática conhecido como análise real, a integral de Riemann, criada por Bernhard Riemann, foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo. Enquanto a integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos teóricos, ela é uma das definições mais fáceis de integral. Algumas deficiências destas técnicas podem ser remediadas pela integral Riemann-Stieltjes, e a maioria deles desaparece na integral Lebesgue.

[editar] Visão geral

Figura 2

Seja $f (x)$ uma função não negativa valida para os números reais do intervalo $[a, b]$ , e seja $S = (x, y) | 0 < y < f (x)$ uma região plana sobre a função $f (x)$ e acima do intervalo $[a, b]$ (veja na figura 2). Nosso interesse é medir a área de $S$ . Uma vez realizado esta medição, nos iremos denotá-la por:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$

A ideia básica de integral Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidade para a área de $S$ . Para se ter uma aproximação cada vez melhor, nos podemos dizer que "no limite" iremos obter exatamente a área de $S$ sob a curva.

Note que onde $f$ pode ser positivo e negativo, a integral corresponde a "área com sinal"; isto é, a área acima do eixo $x$ é positiva e a área abaixo do eixo $x$ negativa.

Uma soma de Riemann. Os números no canto superior direito são as áreas dos retângulos cinza. Eles convergem para a integral da função

[editar] Definição da integral de Riemann

[editar] Partições de um intervalo

Uma partição de um intervalo $[a, b]$ é uma sequência finita $a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$ . Cada $[x i, x i + 1]$ é denominado como um sub-intervalo da partição. A malha de uma partição é definida como o comprimento do mais longo sub-intervalo $[x i, x i + 1]$ , isto é, aquele em que $max(x i + 1 - x i)$ onde $0 \le i \le n - 1$ . Isto também é conhecido como norma de partição.

Uma partição de um intervalo etiquetado é uma partição de um intervalo juntamente com uma sequência finita de números $t_0, \ldots, t_{n-1}$ sujeito a condição que para cada $i$ , $x_i \le t_i \le x_{i+1}$ . Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma que para uma partição ordinária.

Suponha que $x_0,\ldots,x_n$ juntamente com $t_0,\ldots,t_{n-1}$ são uma partição etiquetada de $[a, b]$ , e que $y_0,\ldots,y_m$ juntamente com $s_0,\ldots,s_{m-1}$ seja uma outra partição etiquetada de $[a, b]$ . Nos poderemos dizer que $y_0,\ldots,y_m$ e $s_0,\ldots,s_{m-1}$ juntas são um refinamento da $x_0,\ldots,x_n$ juntamente com $t_0,\ldots,t_{n-1}$ se para cada inteiro $i$ com $0 \le i \le n$ , exista um inteiro $r (i)$ tal que $x i = y r (i)$ e tal que $t i = s j$ para algum $j$ com $r(i) \le j \le r(i+1)$ . Falando de uma maneira mais simples, um refinamento de uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas isto não chega a lugar algum.

Nos podemos definir uma ordem parcial um subconjunto de todas as etiquetas de partição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um refinamento da menor.

[editar] Soma de Riemann

Escolha uma função válida para números reais $f$ a qual se encontra definida no intervalo $[a, b]$ . A Soma de Riemann de $f$ com respeito a partição denominada $x_0,\ldots,x_n$ com $t_0,\ldots,t_{n-1}$ é:

$\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)$

Cada termo na soma é o produto do valor da função em um ponto dado e o comprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de um retângulo com a altura $f (t i)$ e o comprimento $x i + 1 - x i$ . A soma de Riemann é a área sinalizada de todos os retângulos.

[editar] A integral de Riemann

Grosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com uma função de partição que se afine cada vez mais. Contudo, o significado preciso a cerca do que significa "cada vez mais fino" é o mais importante.

Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até que seu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boa aproximação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom para definir uma integral. Para ser especifico, nos dizemos que a integral Riemann de $f$ se igualara a $S$ se as seguintes condições foram consideradas:

Para todo

ε > 0

, onde exista

δ > 0

tal que para qualquer partição etiquetada $x_0,\ldots,x_n$ e $t_0,\ldots,t_{n-1}$ onde a malha seja menor que

δ

, nos temos:

$\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - s\right| < \epsilon.\,$

Contudo, a um desagradável problema com esta definição: ela é muito difícil para se trabalhar. Então nos iremos fazer uma definição alternativa para a integral de Riemann a qual seja mais fácil para se trabalhar, então se prova que esta é a mesma que a definição que a original. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de $f$ é igual a $s$ se as seguintes condições foram consideradas:

Para todo

ε > 0

, existe uma partição etiquetada $x_0,\ldots,x_n$ e $t_0,\ldots,t_{n-1}$ tal que para qualquer refinamento $y_0,\ldots,y_m$ e $s_0,\ldots,s_{m-1}$ de $x_0,\ldots,x_n$ e $t_0,\ldots,t_{n-1}$ , nos teremos

$\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - s\right| < \epsilon.\,$

Ambos eventualmente significam, a soma de Riemann de $f$ com respeito para qualquer partição que seja selecionada que leve a se aproximar de $s$ . Desde que isto seja verdade, não importa a proximidade que necessitamos que esta soma ira assumir, nos diremos que a soma Riemann convergira para $s$ . Esta definição é sempre um caso especial de um conceito mais geral, uma rede.

Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outras palavras, $s$ funciona na sua primeira definição se e somente se $s$ funciona na sua segunda definição. Para mostras que a primeira definição implica na segunda, iniciamos com um $ε$ , e escolhemos um $δ$ que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição etiquetada onde a malha é menor que $δ$ . Esta soma Riemann é em dentro $ε$ de $s$ , e qualquer refinamento desta partição ira também ter uma grade menor que $δ$ , então a soma de Riemann dos refinamentos ira também estar em $ε$ de $s$ . Para mostrar que a segunda definição implica na primeira, isto é facilitado com uso da integral Darboux. Primeiro mostraremos que a segunda é equivalente a definição da integral Darboux, para isto veja a integral. Agora nos iremos mostras que a função de integração de Darboux satisfaz a primeira definição. Escolha a partição $x_0, \ldots, x_n$ tal que o limite inferior e superior da soma de Darboux com respeito a esta partição esteja em dentro $\frac{\epsilon}{2}$ do valor $s$ da integral de Darboux. Seja $r$ igual $\max_{0 \le i \le n-1} M_i-m_i$ , onde $M i$ e $m i$ sã o supremum e infimum, respectivamente, de $f$ em $[x i, x i + 1]$ , e sendo $δ$ menor que $\frac{\epsilon}{2rn}$ e $\min_{0 \le i \le n-1} x_{i+1}-x_i$ . Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de $f$ com respeito de qualquer partição etiquetada da grade menor que $δ$ ira estar em dentro de $\frac{\epsilon}{2}$ da maior ou menor soma de Darboux, então isto estará em dentro de $ε$ de $s$ .