تحليل حقيقي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

التحليل الحقيقي أحد فروع الرياضيات التي تتعامل مع مجموعة الأعداد الحقيقية و الدوال المعرفة عليها . يمكن النظر إلى التحليل الحقيقي على انه نسخة مدققة من علم الحسبان (التفاضل و التكامل) يدرس مصطلحات مثل المتتاليات و نهاياتها , الاستمرار في الدوال , الاشتقاق الرياضي , التكاملات الرياضية و اخيرا متتاليات الدوال . بالتالي يقدم التحليل الحقيقي نظرية متقنة حول فكرة الدوال العددية 'numerical function' , كما يتضمن نظريات حديثة حول الدوال المعممة generalized function .

عادة ما يبدأ تقديم التحليل الحقيقي في النصوص الرياضية المتقدمة ببراهين بسيطة في نظرية المجموعات المبسطة naive set theory أو elementary set theory , ثم تعريف واضح لمصطلح الدالة الرياضية , ثم مقدمة للأعداد الطبيعية و تقنيات البرهان الهامة للاستقراء الرياضي mathematical induction .

من ثم تعمد النصوص المرجعية إلى تقديم الأعداد الحقيقية بشكل بدهي (أكسيوماتي) أو يتم تشكيلها من متسلسلات كاوشي Cauchy sequence و حد ديديكايند Dedekind cut للأعداد المنطقة rational number . النتائج البدئية تشتق أولا , اهمها خواص القيمة المطلقة absolute value , مثل لامساواة المثلث triangle inequality و لامساواة برنولي Bernoulli's inequality .

مصطلح التقارب convergence يعتبر مفهوما مركزيا في التحليل الحقيقي , فهو يقدم من خلال نهايات المتتاليات. يمكن اشتقاق عدة قوانين رياضية تحكم عملية الانتهاء , و بالتالي يمكن حساب عدة نهايات . كما يدرس هنا أيضا المتسلسلات اللامنتهية Infinite series و هي عبارة عن نوع خاص م المتتاليات . من ثم تقدم متسلسلات القوى Power series القدرة على تعريف دوال مركزية متعددة مثل الدالة الأسية exponential function و الدوال المثلثية trigonometric function . من ثم يتم تقديم أنماط مهمة من المجموعات الجزئية مثل المجموعات المفتوحة open set و المجموعات المغلقة closed set , المجموعات المضغوطة compact sets أو compact space مع خواصها المختلفة مثل مبرهنة بولزانو-فايرشتراس Bolzano-Weierstrass theorem و مبرهنة هايني-بوريل Heine-Borel theorem .

من أهم أقسام التحليل الحقيقي :