Szereg potęgowy

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Szereg potęgowy – szereg funkcyjny postaci:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-a \right)^n$

gdzie współczynniki $a n$ są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.

Spis treści

1 Zbieżność szeregu i proste własności
2 Działania na szeregach potęgowych
3 Funkcje analityczne
4 Formalne szeregi potęgowe
5 Szereg potęgowy wielu zmiennych

[edytuj] Zbieżność szeregu i proste własności

Okazuje się, że szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich liczb należących do pewnego koła otwartego ${x : | x - a | < r}$ o środku w punkcie $a$ i rozbieżny poza jego domknięciem. Koło to nazywamy kołem zbieżności szeregu, a jego promień $r$ określony jest wzorem:

$r=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ .

Powyższy wzór należy rozumieć następująco:

jeśli $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\infty$ , to $r = 0$ i szereg jest zbieżny jedynie dla $x = a$
jeśli natomiast $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=0$ , to $r=\infty$ i szereg jest zbieżny dla wszystkich $x$ .

Inne wzory na promień szeregu:

$\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-n}$

oraz

$r=\lim_{n\to\infty}\left|{a_n \over a_{n+1}}\right|.$

Ostatni wzór jest najwygodniejszy w użyciu, lecz można go stosować jedynie wtedy, gdy granica $\left|{a_n \over a_{n+1}}\right|$ istnieje.

Szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżny na dowolnym zwartym podzbiorze koła zbieżności.

Wynika stąd natychmiast, że szereg potęgowy przedstawia funkcję ciągłą wewnątrz koła zbieżności. Dwa szeregi przedstawiają tę samą funkcję wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe wszystkie współczynniki przy tych samych potęgach dwumianu (x – a).

Problem zbieżności szeregu potęgowego na brzegu koła zbieżności jest subtelny i nie daje się rozwiązać w przypadku ogólnym. Hugo Steinhaus podał przykład szeregu, który przedstawia funkcję nieciągłą w zbiorze wszędzie gęstym w brzegu koła.

[edytuj] Działania na szeregach potęgowych

Niech szeregi

$\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n$ i $\sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n$

będą zbieżne w swoich kołach zbieżności przedstawiają odpowiednio funkcje f(x) i g(x).

[edytuj] Dodawanie i odejmowanie

Przy powyższych oznaczeniach funkcję

$a\cdot f(x)+b\cdot g(x)$ przedstawiał będzie szereg:

$f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-a)^n$ zbieżny w mniejszym z kół zbieżności.

[edytuj] Mnożenie i dzielenie

Iloczynem Cauchy'ego określonych wyżej szeregów nazywamy szereg

$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}(x-a)^n$

Dla argumentów z mniejszego koła zbieżności szereg jest zbieżny bezwzględnie i kolejność sumowania wyrazów nie ma znaczenia, dlatego powyższą sumę można też zapisać jako:

$= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-a)^{i+j}.$

Zauważmy teraz, że w przypadku dzielenia szeregów (tam gdzie jest ono wykonalne) mamy:

${f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n} = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n.$

Dla wyznaczenia współczynników c_n wystarczy napisać

$f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n\right)$

skąd przez wymnożenie, porównanie współczynników szeregów po obu stronach i wykorzystanie ich jednoznaczności otrzymamy c_n.

[edytuj] Całkowanie i różniczkowanie

Z własności szeregu potęgowego wynika bezpośrednio (patrz: szereg funkcyjny), że jego suma jest funkcją różniczkowalną i całkowalną w sensie Riemanna we wnętrzu koła zbieżności tego szeregu. Co więcej, zarówno pochodną jak i całką tej funkcji można otrzymać różniczkując lub całkując szereg wyraz po wyrazie:

$(\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-a)^n)^{\prime} = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-a \right)^{n-1}$

oraz

$\int \sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-a)^n\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-a \right)^{n+1}} {n+1} + C$

Oba szeregi po prawej stronie równości są zbieżne w tym samym kole zbieżności co szereg wyjściowy.

[edytuj] Funkcje analityczne

Z szeregami potęgowymi zmiennej zespolonej ściśle związane są funkcje analityczne. Każda funkcja analityczna daje się lokalnie – czyli w pewnym otoczeniu dowolnego punktu swej dziedziny przedstawić szeregiem potęgowym i na odwrót, każdy szereg potęgowy jest funkcją analityczną we wnętrzu swego koła zbieżności. Klasa funkcji analitycznych w pewnym obszarze tworzy pierścień, to znaczy suma i iloczyn funkcji analitycznych jest również funkcją analityczną. Iloraz funkcji analitycznych jest funkcją analityczną o ile mianownik nie przyjmuje w danym obszarze wartości zerowych.

Każda zespolona funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w swej dziedzinie, a współczynniki a_n jej rozwinięcia w szereg w otoczeniu dowolnego punktu z₀ są dane wzorem:

$a_n = \frac {f^{\left( n \right)}\left( z_0 \right)} {n!}$

gdzie f⁽ⁿ⁾(z₀) oznacza n-tą pochodną f w punkcie z₀. Oznacza to, że każda funkcja analityczna daje się lokalnie przedstawić swoim szeregiem Taylora.

Powyższe uwagi nie dotyczą funkcji zmiennej rzeczywistej – tutaj funkcja, która jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna może nie dać przedstawić się szeregiem potęgowym.

Zauważmy też, że jeśli dwie funkcje analityczne zmiennej zespolonej są określone w tym samym obszarze, a ich wszystkie pochodne są równe w pewnym punkcie tego obszaru, to obie funkcje są sobie równe w całym obszarze.

[edytuj] Formalne szeregi potęgowe

Pojęcie szeregu potęgowego zostało przeniesione do algebry pod postacią formalnego szeregu potęgowego nad danym ciałem. Ich badanie ma wielkie znaczenie dla kombinatoryki gdzie występują pod postacią funkcji tworzących.

[edytuj] Szereg potęgowy wielu zmiennych

Kolejnym uogólnieniem teorii szeregów potęgowych jednej zmiennej jest teoria szeregów wielu zmiennych. Szereg potęgowy wielu zmiennych definiujemy następująco:

$f(x_1,...,x_n) = \sum_{j_1,...,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,...,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},$

gdzie j = (j₁, ..., j_n) jest układem liczb naturalnych, współczynniki a_{(j₁,...,j_n)} są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a c = (c₁, ..., c_n) oraz x = (x₁, ..., x_n) są punktami n-wymiarowej rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni euklidesowej.