Kombinacja liniowa wektorów

Z Wikipedii

Kombinacja liniowa jest jednym z podstawowych pojęć algebry liniowej.

Spis treści 1 Definicja 2 Przykłady 3 Powłoka liniowa zbioru 4 Kombinacja wypukła wektorów 5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Kombinacją liniową wektorów w₁, w₂, ..., w_n danej przestrzeni liniowej V nad ciałem K o współczynnikach α₁, α₂, ..., α_n z ciała K nazywamy wyrażenie:

α₁w₁ + α₂w₂ + ... + α_nw_n

[edytuj] Przykłady

Niech u, v, w będą wektorami. Oto kilka ich kombinacji liniowych:

• 2u+3v+0w (=2u+3v)
• 3u-v+4w
• 2u+0v+0w (=2u)
• -u-v+4w
• 0u+0v+0w (=0)
• u
• 0 - wektor zerowy

Innymi słowy: każdy wektor jaki można otrzymać z wektorów danego zbioru A przez mnożenie ich przez skalary i dodawanie, jest kombinacją liniową wektorów układu A.

[edytuj] Powłoka liniowa zbioru

Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów danego zbioru A w przestrzeni V nazywamy powłoką liniową zbioru A. Zbiór ten tworzy podprzestrzeń liniową V, zawierającą zbiór A – jest to najmniejsza podprzestrzeń zawierająca A. Oznaczamy ją symbolem lin(A) lub span(A) i nazywamy też podprzestrzenią generowaną przez zbiór A lub rozpiętą na zbiorze A.

[edytuj] Kombinacja wypukła wektorów

Jeśli w₁, w₂, ..., w_n ⊂ V , a liczby nieujemne α₁, α₂, ... , α_n ∈ R spełniają warunek , to wektor α₁w₁ + α₂w₂ + ... + α_nw_n nazywamy kombinacją wypukłą wektorów w₁, w₂, ..., w_n o współczynnikach α₁, α₁, ... , α_n.

[edytuj] Zobacz też

• wektory liniowo niezależne,
• podprzestrzeń liniowa,
• przegląd zagadnień z zakresu matematyki.