Wielomiany Czebyszewa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Wielomiany Czebyszewa są bazą wielomianów, tj. każdy inny wielomian jest kombinacją liniową wielomianów Czebyszewa.

Spis treści

1 Definicja rekurencyjna:
2 Postać jawna
3 Parzystość wielomianów Czebyszewa
4 Postać trygonometryczna
5 Zera wielomianów Czebyszewa
6 Ortogonalność
7 Przykłady wielomianów Czebyszewa
8 Przykład zastosowania

[edytuj] Definicja rekurencyjna:

T 0 (x) = 1

T 1 (x) = x

$T_k(x)=2x\cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x)$

[edytuj] Postać jawna

Rozwiązaniem powyższej rekurencji (otrzymanym np. przez metodę równania charakterystycznego rekursji) jest :

$T_k(x) = \frac{(x+\sqrt{x^2-1})^k + (x-\sqrt{x^2-1})^k}{2}$

[edytuj] Parzystość wielomianów Czebyszewa

Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k - nieparzysty:

T k ( - x) = ( - 1) k T k (x)

[edytuj] Postać trygonometryczna

Dla $x\in [-1;1]$ podstawiając za x $\! \cos\ t$ , dla $k=0,1,2,\cdots$

$T_k(t) = \frac{(\cos\ t +\sqrt{\cos^2\ t-1})^k + (\cos\ t-\sqrt{\cos^2-1})^k}{2} =$

$T_k(t) = \frac{(\cos\ t +\sqrt{-\sin^2\ t})^k + (\cos\ t-\sqrt{-\sin^2\ t})^k}{2} =$

$T_k(t) = \frac{(\cos\ t + i\cdot \sin\ t)^k + (\cos\ t- i\cdot \sin\ t)^k}{2}$

gdzie $i=\sqrt{-1}$

Po zastosowaniu wzoru na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:

$\! T_k(x) = \cos kt$

$\! t = \arccos x$

$\! T_k(x)=\cos(k\cdot \arccos(x))$ (*)

Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża Wielomian Czebyszewa k-tego stopnia poprzez funkcje trygonometryczne cos i arccos. Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x równe:

$T_k(x) = \begin{cases} \cos(k\arccos x), & \ x \in [-1,1] \\ \cosh(k \, \mathrm{arcosh}(x)), & \ x \ge 1 \\ (-1)^k \cosh(k \, \mathrm{arcosh}(-x)), & \ x \le -1 \\ \end{cases}$

Można wykazać, że

$\cos(k\cdot t)=\frac{e^{i k \cdot t}+e^{-i k \cdot t}}{2}=\frac{(e^{i \cdot t})^k+(e^{i \cdot t})^{-k}}{2}$

ponieważ zachodzi

$\! e^{i \cdot t}=\cos(\cdot t)+i \sin(t)$

oraz

$\sin(t)=\sqrt{1-\cos(t)^2}$

zachodzi

$e^{i \cdot t}=\cos(\cdot t)+ \sqrt{\cos(\cdot t)^2-1}$

a stąd

$\cos(k \cdot t)=\frac{(\cos(t)+ \sqrt{\cos(t)^2-1})^k+(\cos(t)+ \sqrt{\cos(t)^2-1})^{-k}}{2}$

podstawiają za $cos(t)$ x, otrzymuje się

$T_k(x)=\frac{(x+ \sqrt{x^2-1})^k+(x+ \sqrt{x^2-1})^{-k}}{2}$

[edytuj] Zera wielomianów Czebyszewa

Wielomian Czebyszewa $T k (x)$ posiada k zer rzeczywistych należących do [-1;1] danych wzorem:

$x_k=\cos \left(\frac {2\cdot j -1}{2\cdot k}\cdot\pi \right)$

$j=1,2,\cdots , k$

[edytuj] Ortogonalność

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni $L_p^2[-1,1]$ z funkcją wagową $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ :

$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{ \begin{matrix} 0 &: n\ne m~~~~~\\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{matrix} \right.$

[edytuj] Przykłady wielomianów Czebyszewa

T₀ T₁, T₂ T₃ T₄ T₅

Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$

$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,$

[edytuj] Przykład zastosowania

Wielomiany Czebyszewa, m.in. ze względu na fakt, że dla $x\in [-1;1]$ $T_k(x) \in [-1;1]$ pozwalają oszacować z góry wartość wielomianów ( w [-1;1]) w(x), takich, że współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest równy jeden