Polynomium
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Et polynomium er en matematisk funktion, hvis forskrift følger en bestemt "opskrift". I forskriften indgår en række parametre (tal som er "faste" eller konstante for det pågældende polynomium), som éntydigt beskriver polynomiet.
Polynomier kan sammenlignes med en slags "modellervoks", som man kan lave matematiske funktioner af: Man kan "udforme" et polynomium, så det "ligner" omtrent en hvilken som helst funktion man måtte ønske. Men mens den funktion man "efterligner" kan have en ubegrænset stor definitionsmængde, vil polynomiet kun "ligne" den oprindelige funktion inden for et afgrænset interval.
[redigér] Polynomiets forskrift
Forskriften for et polynomium er en sum af nogle led, typisk sorteret efter faldende potens af x:
p(x) = kn·xn + kn-1·xn-1 + kn-2·xn-2 + ... + k3·x3 + k2·x2 + k1·x + k0
Som antydet består polynomiets forskrift af n såkaldte led, som alle er noget med et tal ganget med x opløftet til en heltallig potens.
Tallene kn, kn-1, kn-2 ... k3, k2 og k1 kaldes for koefficienter, mens k0 omtales som konstantleddet. Så længe koefficien til højestegrads-leddet (dvs. det led hvori x er opløftet til den højeste potens, i dette tilfælde kn) er forskellig fra 0, kalder man polynomiet for et n'te-grads polynomium - de andre koefficienter og konstantleddet kan være alle mulige reelle tal.
[redigér] Polynomiets rødder
For et givent polynomium af n'te grad vil der være n værdier for x, som giver p(x) = 0: Sådanne tal kaldes for polynomiets rødder, og nogle eller evt. samtlige disse tal kan være relle tal - resten vil være komplekse tal. Det kan desuden forekomme at to eller flere rødder er ens: Sådan et tal kaldes for en dobbeltrod.
Hvis et polynomium har rødderne x1, x2, x3 ... xn, kan polynomiets forskrift skrives på denne form:
p(x) = (x - x1)·(x - x2)·(x - x3)· ... ·(x - xn)
Hvis x er lig med én af rødderne, bliver én af parenteserne i ovenstående produkt lig med nul, og hele polynomiet bliver lig nul. Produktet af de øvrige parenteser vil så danne et nyt polynomium, som indeholder alle de andre mulige rødder.
Hvis man kan finde én rod x1 i et polynomium, kan man derfor dividere polynomiets forskrift med x - x1 og derved få et nyt polynomium som er en grad mindre end det oprindelige polynomium. Det nye polynomier vil have de samme rødder som det oprindelige polynomium, med undtalgelse af den rod der blev "divideret ud".
