Relazione (matematica)

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In matematica e in informatica, soprattutto per quello che riguarda i database, per relazione si intende, grosso modo, un collegamento che sussiste tra un determinato numero di oggetti appartenenti a determinati insiemi. Come esempio di relazione si potrebbero considerare enunciati come "5 < 6" e "z=x+y". Si osserva che la prima di queste scritture concerne due oggetti specifici, i numeri 5 e 6, e un enunciato che li riguarda, mentre il secondo riguarda un insieme di situazioni concernenti quantità numeriche. Formalmente conviene dare una definizione che riguarda un insieme di sequenze e trattare le particolari situazioni come elementi del suddetto insieme.

[modifica] Definizioni

Consideriamo un intero positivo n e la sequenza costituita dagli n insiemi X₁, ..., X_n considerati nell'ordine.

Si dice relazione n-aria relativa alla suddetta sequenza di insiemi ogni sottoinsieme del relativo prodotto cartesiano:

$R \subseteq X_1 \times X_2 \times ... \times X_n$

Per arietà di una relazione come la precedente si intende l'intero n.

Per predicato n-ario si intende una funzione di verità di n variabili.

Dato che una relazione n-aria come la precedente individua univocamente il predicato n-ario che assume il valore vero per ogni

$\langle x_1, x_2, ...,x_n\rangle \in R$

e viceversa, la relazione e il predicato sono spesso identificate.

Così sono considerati equivalenti i seguenti enunciati:

$\langle x_1,x_2,\dotsb\rangle\in R$

$R(x_1,x_2,\dotsb)$

Le relazioni sono distinte primariamente secondo la loro arietà, cioè secondo il numero degli insiemi che sono fattori del prodotto cartesiano. Esplicitamente diciamo:

relazione unaria: R(x)
relazione binaria: R(x, y) or x R y
relazione ternaria: R(x, y, z)
relazione quaternaria: R(x, y, z, w)

Solitamente non si distinguono le arietà delle relazioni con più di quattro termini e si considerano collettivamente le relazioni n-arie; per esempio non accade di vedere trattate le "relazioni 5-narie".