指示関数

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数学において指示関数（しじかんすう、indicator function）、集合の定義関数あるいは特性関数（とくせいかんすう、characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。

確率論においては、分布関数のフーリエ変換を「分布の特性関数」と呼ぶため、区別のために「集合の特性関数」を「指示関数」、「分布の特性関数」を単に「特性関数」と読んで区別する傾向が強い。また一般には、「集合の定義関数」を単に「定義関数」と呼ぶことが多いが、これも文脈上の意味が明らかな場合のことである。

[編集] 定義

集合 E とその部分集合 A に対して、E の元 x が A に属すならば 1 を、さもなくば 0 を返す二値関数

$\chi_A\colon E \to \{1,0\};\ x \mapsto \chi_A(x),$

$\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{ if } x \in A, \\ 0 & \mbox{ if } x \notin A \end{cases}$

を集合 E における部分集合 A の指示関数と呼ぶ。ある集合 E について、その部分集合 A を与えることと、A の指示関数を与えることとは等価である。すなわち、E の冪集合 2^E と、E 上の指示関数全体のなす集合 Χ(E) との間に

$\chi\colon 2^E \to \Chi(E);\ A \mapsto \chi_A$

なる全単射が存在する。この意味で部分集合 A は指示関数 χ_A によって特徴付けられるので、χ_A を部分集合 A の特性関数ともよぶ。また、χ_A によって部分集合 A が定められるという意味で部分集合 A の 定義関数ともいう。

A の指示関数をあらわすための記号として

$\chi_A(x),\, {\rm Ch}_A(x),\, I_A(x),\,\boldsymbol{1}_A(x)\, 1\!\!1_A(x),\, 1_A(x)$

などがしばしば用いられる。

[編集] 集合演算

A, B はある特定の集合 U の部分集合とする。部分集合の間の集合演算に関して、U 上の指示関数は

空集合: $\chi_{\empty} = 0,$
全体集合: $χ U = 1,$
非交和: $\chi_{A\sqcup B} = \chi_A + \chi_B,$
積集合: $\chi_{A\cap B} = \chi_A\chi_B = \min\{\chi_A, \chi_B\}$

を満足する。また、これらから

差集合: $\chi_{A \smallsetminus B} = \chi_A - \chi_A\chi_B,$
和集合: $\chi_{A\cup B} = \chi_{A} + \chi_B - \chi_{A \cap B} = \chi_A + \chi_B - \chi_A\chi_B = \max\{\chi_A,\chi_B\},$
対称差: $\chi_{A \triangle B} = \chi_{A \smallsetminus B} + \chi_{B \smallsetminus A} = \chi_A + \chi_B -2\chi_A\chi_B,$
補集合: $\chi_{\complement A} = \chi_{U \smallsetminus A} = 1 - \chi_A$