Funzione indicatrice

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Nota disambigua - Se stai cercando la funzione indicatrice in teoria della probabilità, vedi funzione caratteristica.

In matematica, nel campo della teoria degli insiemi, la funzione indicatrice, o funzione caratteristica, è una funzione definita su un insieme X usata per indicare l'appartenenza di un elemento ad un sottoinsieme A di X. In particolare vale 1 se e solo se l'elemento x di X appartiene anche ad A.

[modifica] Definizione

La funzione indicatrice di un sottoinsieme A di X è una funzione

$1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace$

definita come

$1_A(x) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{if}\ x \in A \\ 0 &\mbox{if}\ x \notin A \end{matrix}\right.$

La funzione indicatrice di A è talvolta indicata con

$\chi_A(x) \qquad \mbox{o} \qquad I_A(x).\,$

[modifica] Proprietà fondamentali

La mappa che associa un sottoinsieme A di X alla sua funzione indicatrice 1_A è iniettiva; il suo codominio è l'insieme delle funzioni f:X →{0,1}.

Se A e B sono due sottoinsiemi di X, allora

$1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A 1_B \qquad \mbox{e} \qquad 1_{A\cup B} = \max\{{1_A,1_B}\} = 1_A + 1_B - 1_A 1_B.$

Più in generale, supponiamo che A₁, ..., A_n sia una collezione di sottoinsiemi di X. Per ogni x ∈ X,

$\prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}(x))$

è chiaramente un prodotto di zeri e uni. Questo prodotto ha il valore 1 proprio in corrispondenza degli x ∈ X che non appartengono a nessuno degli insiemi A_k ed è 0 altrove. Cioè

$\prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}) = 1_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - 1_{\bigcup_{k} A_k}$

Espandendo il prodotto a destra e a sinistra,

$1_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} 1_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} 1_{\bigcap_F A_k}$

Dove |F| è la cardinalità di F. Questa è una delle forme del principio di inclusione-esclusione.

Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella combinatoria. La notazione è usata in altri casi, ad esempio in teoria della probabilità: se X è uno spazio di probabilità con misura di probabilità P e A è un insieme misurabile, allora 1_A diventa una variabile casuale la cui media è uguale alla probabilità di A: