Indicatorfunctie
In de wiskundige verzamelingenleer is de indicatorfunctie van een deelverzameling, een functie die het onderscheid maakt tussen elementen binnen en buiten de deelverzameling.
Soms wordt als synoniem karakteristieke functie gehanteerd, maar deze term heeft ook andere betekenissen.
Inhoud |
[bewerk] Definitie
Zij A een verzameling, en D een deelverzameling van A. De indicatorfunctie van D is de functie
die de elementen van D op het getal 1 afbeeldt, en de elementen van het complement van D op het getal 0.
De definitie van de indicatorfunctie hangt niet alleen af van de deelverzameling D, maar ook van de universumverzameling A.
[bewerk] Voorbeelden
De indicatorfunctie van A zelf is de constante 1.
De indicatorfunctie van de lege verzameling is de constante 0.
Zij
Dan is de indicatorfunctie van D, opgevat als relatie:
- 1D = {(1,1),(2,1),(3,0)}
De indicatorfunctie van het singleton {0} in de universumverzameling der reële getallen is een vorm van de de Kronecker delta.
[bewerk] Toepassing
Indicatorfuncties zijn een technisch truukje om stellingen die over reëelwaardige functies gaan, toe te passen op verzamelingen.
In de maattheorie wordt vaak het omgekeerde toegepast: men bewijst een tamelijk eenvoudige stelling over de maat van een deelverzameling, en men veralgemeent ze tot een stelling over de integraal van een meetbare functie. Als tussenstap wordt vaak de integraal van een enkelvoudige functie beschouwd, d.i. een eindige lineaire combinatie van indicatorfuncties.
[bewerk] Verband met machtsverzameling
De machtsverzameling van A staat in een natuurlijk één-één-verband (bijectie) met de verzameling van alle functies van A naar het paar {0,1}, door met iedere deelverzameling van A haar indicatorfunctie te associëren.
In het algemeen wordt de verzameling van alle functies tussen twee gegeven verzamelingen A en B genoteerd als BA.
Dit verklaart waarom de machtsverzameling van A vaak 2A genoteerd wordt, als we de vrijheid nemen de verzameling {0,1} met het symbool 2 aan te duiden.
