双子素数

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双子素数（ふたごそすう）とは、差が 2 の二つの素数の組のこと。2 と 3 の組を除くと、双子素数はもっとも数の近い素数の組である。双子素数の例としては、3 と 5, 11 と 13, 857 と 859 などがある。

素数が無限に存在することは古代ギリシャから知られていたこととはうらはらに、双子素数は無限に存在するかという問題は長い間手に負えない問題であった。このいわゆる双子素数の予想や双子素数の問題と呼ばれる問題は、多くの数論学者が双子素数は無限に存在するだろうと予想しているにもかかわらず、2006年現在、いまだに数学上の未解決問題として残されている。上からの評価式など部分的な結果があるが、その中でも漸近公式の予想は注目に値する。双子素数の組の数の漸近公式はハーディ・リトルウッド予想の一部であり、これは素数定理と似通った次のような双子素数の漸近的な分布公式を予想している：

x 以下の双子素数の組の数は、漸近的に

$2C \frac {x}{(\log x)^2}$ 、あるいは $2C \int_{2}^{x} \frac {dx}{(\log x)^2}$

で与えられる。後者の積分による表示式のほうがよい近似を与える。ここで、定数 C は次のような無限積で定義される。

$C = \prod_{p>2} \left( 1 - \frac {1}{(p-1)^2} \right) = 0.6601...$

この定数 C は「ハーディ・リトルウッド定数」の一つである。

この問題は、特に二素数の場合のゴールドバッハの予想に密接に関係しており、篩法などの研究者によって双方の研究が同時に進められてきた。

2004年5月に、"Proof of Infinitely many Twin Primes" と題された論文が Richard Arenstorf によって提出された（末尾のリンクを参照）。この論文は上記のハーディ・リトルウッドの予想が正しいと主張するものであるが、内容に重大な誤りがあるとして著者自身によって撤回された。

[編集] 小さい方から35個の双子素数

  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61), 
  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),
  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),
  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859),...

[編集] 知られている最大の双子素数

2005年現在知られている最大の双子素数は、51779桁の

$16,\!869,\!987\!,\!339,\!975 \cdot 2^{171960} \pm 1$

である。この双子素数は、2005年 9月に発見された。

(※16,869,987,339,975 = 3³ × 5² × 7 × 11² × 19 × 1553009)

[編集] 双子素数に関する諸結果

3 を除く全ての双子素数は、6n - 1 か 6n + 1 に自然数 n を代入した数となっている。
xより小さな双子素数の個数は高々O(x/(log x)²)である。したがって、p と p + 2 が共に素数の場合、

$B = \sum_p \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{p+2} \right)$

（全双子素数の逆数の和）は収束する (Brun, 1919)。この和（1.90195……）をブルンの定数と呼ぶ。このことは、全素数の逆数の和が発散することと対照的である。また、すべての偶数は、高々 9 個の素数の積で現される 2 つの整数の差として無限通りに表すことが出来ることもヴィーゴ・ブルンは示している (Brun, 1920)。これらの結果はふるい法によるもので、ふるい法の最初の本格的な成果であると同時に、双子素数に関する最初の理論的な結果であり、双子素数に関する研究の出発点となった。

ブルンの定数の2005年現在の最も正確な値は、 $B \approx\ 1.902160583104\cdots$ である。この値は、10¹⁶までに現れる双子素数を使用して求められた (Sebah, 2002)。なお、1994年にブルンの定数を計算する過程でP54C Pentiumの浮動小数点演算命令にバグが存在することが発見され、話題となった。この詳しくはPentiumの項を参照。
陳景潤(Chen Jing Run)は、p + 2 が高々 2 個の素数の積となるような素数 p が無限に多く存在することを示している (Chen, 1966)。
p + 2 が高々 2 個の素数の積となるような素数 p を陳素数と定義したとき、無限個のChen素数の３項等差数列が存在する (Ben Green, テレンス・タオ, 2005)。
整数 n と n + 2 が共に素数の場合、またその時に限り、4 [(n - 1)! + 1] + n ≡ 0 (mod n(n + 2)) である (Clement, 1949)。
2005年に、ダニエル・ゴールドストンにより、以下のことが証明された。

$\liminf_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=0$

上極限と下極限

[編集] 関連項目

[編集] 参考文献

V. Brun, Le crible d'Erathostene et la theoreme de Goldbach, Videnskapsselskapets Skrifter Kristiania, Mat.-nat. K1. 1920, No. 3, 36 pages.
J. R. Chen, On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes, I, Sci. Sinica, 16(1973), 157-176 and II, ibid. 21(1978), 421-430.
H. Davenport, Multiplicative Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2002.
H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods, Academic Press, 1974.
M. B. Nathanson, Additive Number Theory: The Classical Bases, Springer-Verlag, 1996.
P. Sebar, Counting twin primes and Brun's constant new computation, NMBRTHRY@listserv.nodak.edu mailing list, 2002