Primtalstvillinger

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Primtalstvillinger er to primtal der kun har ét andet tal imellem sig. Eksempler på primtalstvillinger er:

• 3 & 5
• 5 & 7
• 11 & 13
• 17 & 19
• 101 & 103
• 22271 & 22273
• 57007007 & 57007009
• 1.000.000.000.061 & 1.000.000.000.063

Det er et uafklaret spørgsmål om der findes uendelig mange primtalstvillinger, men den almindelige opfattelse er at der er uendelig mange.

Den norske matematiker Viggo Brun forsøgte at bevise at antallet af primtalstvillinger var uendeligt ved at bevise at den reciprokke sum af alle primtalstvillinger var uendelig. Imidlertid lykkedes det ham i 1919 at bevise at summen var endelig og dette kan ikke bruges hverken som argument for eller imod at antallet af primtaltvillinger er uendeligt. F.eks. er den reciprokke sum af alle kvadrattal også endelig, selvom der naturligvis findes uendelig mange kvadrattal.

Den reciprokke sum af alle primtalstvillinger kaldes Bruns konstant og er beregnet til B₂ ≈ 1,902160583104.

Det at den reciprokke sum af alle primtalstvillinger er endelig, viser at der findes væsentligt færre primtalstvillinger end primtal, da den reciprokke sum af alle primtal er uendelig.

For alle primtalstvillinger større end 7 gælder at tallet mellem primtallene er deleligt med 6.

På tilsvarende vis kan man definere primtalsfirlinger som fire primtal er ligger så tæt som muligt. Bortset fra små tal, dvs. mindre end 9, vil primtalsfirlinger være på formen p, p+2, p+6, p+8. Ligesom p+4 altid vil være deleligt med 15.

Eksempler på primtalsfirlinger er:

• 11, 13, 17 & 19
• 101, 103, 107 & 109

Det er ukendt om der findes uendelig mange primtalsfirlinger, men den reciprokke sum for primtalsfirlinger er endelig og kaldes Bruns konstant for primtalsfirlinger : B₄ = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005.

Bemærk at selvom det skulle blive bevist at antallet af primtalstvillinger er uendeligt er dette ikke nødvendigvis et bevis for at der er uendeligt mange primtalsfirlinger.