Простые числа-близнецы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Простые числа-близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2.

Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5) имеют вид $6n\pm 1$ .

Первые простые числа-близнецы:

  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61), 
  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),
  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),
  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

На данный момент, наибольшими известными простыми-близнецами являются числа $100314512544015 \cdot 2^{171960}\pm 1$ [1].

Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По гипотезе Харди-Литтлвуда, количество $π 2 (x)$ пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

$\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int_2^x \frac{dt}{(\ln t)^2}$

где $C 2$ — константа простых-близнецов:

$C_2 = \prod_{p\ge 3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \approx 0.66016118158468695739278121100145\ldots$

[править] Теорема Бруна

Вигго Брун в 1919 доказал, что $\pi_2(x) \ll \frac{x}{(\ln x)^2}$ и ряд обратных величин сходится

$B_2=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\ldots$