Radiante

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Il radiante (simbolo rad) è l'unità di misura degli angoli del Sistema Internazionale (più precisamente si tratta di una unità SI derivata). Misurare un angolo in radianti equivale a misurare la lunghezza di un arco di circonferenza, spazzato dall'angolo medesimo, e dividerlo per il raggio. Questa unità è usata in particolare nel Calcolo infinitesimale, in trigonometria e in goniometria.

[modifica] Definizione di radiante

Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo e il suo arco intercettato dalle due semirette che formano l'angolo. Chiameremo $\,l\,$ la lunghezza di tale arco, $\,r\,$ quella del raggio, $\,c\,$ quella della circonferenza e $α$ l’ampiezza dell’angolo descritto dall’arco.

Ricordandosi che la misura della lunghezza della circonferenza è c = 2 π r, si può scrivere la seguente proporzione:

$\frac{\alpha ^{(\circ)}}{l} = \frac{360^\circ}{2\pi r}$

α(°) risulta funzione di l, α⁽°⁾ = f (l), ovvero

$\alpha ^{(\circ)} (l) = \frac{360^\circ \cdot l}{2\pi r}$

da cui

$\alpha ^{(\circ)} (l) = \frac{l}{r} \cdot \frac{360^\circ }{2\pi}$ (1)

Definiamo come radiante l’ampiezza dell’arco di circonferenza che, rettificato, sia uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l’angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

Dunque, ponendo l = r, dalla (1) si ottiene:

$\alpha ^{(\circ)} (l = r) = \frac{360^\circ }{2\pi} \approx 57.29578^\circ \approx 57^\circ\;17'\;44.8'' = 1\;\mbox{rad}$

Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:

$360^\circ = \frac{2\pi }{2\pi} \cdot 360^\circ = 2\pi \cdot \frac{360^\circ }{2\pi} = 2\pi\;\mbox{rad}$

Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:

$\frac{\alpha^{(\circ)}}{\alpha^{\mathrm{rad}}} = \frac{360^\circ}{2\pi}$

$\alpha ^{(\circ)} = \frac{360^\circ}{2\pi} \cdot \alpha^{\mathrm{rad}}$

$\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{2\pi }{360^\circ} \cdot \alpha ^{(\circ)}$

Infine, dalla proporzione $\frac{l}{2\pi r} = \frac{\alpha^{\mathrm{rad}}}{2\pi}$ si ottiene:

$\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{l}{r}$ (2) e

$l = r \cdot \alpha^{\mathrm{rad}}$

Osservando la (2) si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.

Infatti: [rad] = [m] / [m] = [1].

[modifica] Motivazione

A prima vista un radiante è un angolo strano. Esso però consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando come unità di misura per gli angoli i gradi sessagesimali o altre unità. Sostanzialmente i vantaggi dei radianti derivano dal fatto che con tale unità si ottiene la semplice espressione

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$

e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} - ...$

$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} - ...$ .

Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, le formule come le precedenti dovrebbero essere infarcite di costanti di conversione e da loro potenze.

[modifica] Tabelle di conversione

Un angolo giro misura quindi 2 π rad, un angolo piatto π rad ed un angolo retto π/2 rad.

gradi	radianti
0	0
15	1/12 π
30	1/6 π
45	1/4 π
60	1/3 π
90	1/2 π
120	2/3 π
135	3/4 π
150	5/6 π

gradi	radianti
180	π
210	7/6 π
225	5/4 π
240	4/3 π
270	3/2 π
300	5/3 π
315	7/4 π
330	11/6 π
360	2π

1 rad = 57.29577 95131 gradi = 3437.74677 07849 minuti = 206264.80625 secondi
1 grado = 0.01745 32925 19943 rad;
1 minuto = 0.00029 08882 08666 rad
1 secondo = 0.00000 48481 36811 rad

[modifica] Vedi anche:

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